M. Künzer, J. Marhenke Abgabe bis Donnerstag, 18.12.03, 15h30, Briefkasten vor H3

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Blatt 9

Aufgabe 36 (9 Punkte).

Sei K ein Körper, seien m, n ∈ K, sei s ∈ K ein Parameter, sei A ∈ K^{m×n} und sei b ∈ K^{m}. Bestimme {x ∈ K^{n} | Ax = b} in Abhängigkeit von s (ggf. mit Fallunterscheidungen).

(1) K = R, A = (\begin{matrix}1 & 2s & 1+2s \\ 1 & s & 1+s \end{matrix}), b = (\begin{matrix}3−s \\ 2−s \end{matrix}).

(2) K = C, A = ( \begin{matrix}i & s−1 & 0 & −s \\ −i & 0 & 1 & s \\ 1−i & 1−s & i & s \end{matrix}), b = (\begin{matrix}1−s \\ s \\ s−1 \end{matrix}).

(3) K = F_{8}, A = (\begin{matrix}sβ^{2} & s+sβ & s & 0 \\ β^{2} & 1+β & 1 & β \\ 1+β^{2} & 1 & 0 & s \end{matrix}), b = (\begin{matrix}βs \\ 0 \\ s \end{matrix}).

Aufgabe 37 (6 Punkte).

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K, und sei V ^{\overline{}^{φ}} V ein Endomorphismus. Seien \underline{y} und \underline{z} Basen von V. Ausgehend von der beschreibenden Matrix A(φ)_{\underline{y},\underline{y}} ist die beschreibende Matrix A(φ)_{\underline{z},\underline{z}} zu ermitteln.

(1) K = C, V = C^{2}, \underline{y} = ((\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix})), \underline{z} = ((\begin{matrix}2 \\ −i \end{matrix}) , (\begin{matrix}i \\ 1 \end{matrix})), A(φ)_{\underline{y},\underline{y}} = (\begin{matrix}2i & 4 \\ 1 & −2i \end{matrix}).

(2) K = Q, V = ⟨1, X, X^{2}⟩ ≤ Q[X], \underline{y} = (1, (1 + X), (1 + X)^{2}), \underline{z} = (1, X, X^{2}), A(φ)_{\underline{y},\underline{y}} = (\begin{matrix}0 & −1 & 0 \\ 1 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}).

Aufgabe 38 (6 Punkte).

Sei n ≥ 1, sei (∼) eine Äquivalenzrelation auf F_{2}^{n×n}. Bestimme die Anzahl der Äquivalenzklassen.

(1) Sei n = 3, und sei A ∼ B genau dann, wenn es ein S ∈ GL_{3}(F_{2}) gibt mit SA = B.

(Hinweis: Repräsentanten in Zeilenstufenform.)

(2) Sei n = 4, und sei A ∼ B genau dann, wenn es S, T ∈ GL_{4}(F_{2}) gibt mit SAT = B.

(3) Sei n = 2, und sei A ∼ B genau dann, wenn es ein S ∈ GL_{2}(F_{2}) gibt mit S^{−1}AS = B.

Aufgabe 39 (2+2+3 Punkte). Elementarteiler.

(1) Seien m, n ≥ 1 und sei A ∈ Z^{m×n}. Sei GL_{m}(Z) := Inv(Z^{m×m}).

Zeige, daß es S ∈ GL_{m}(Z) und T ∈ GL_{n}(Z) so gibt, daß

SAT = ( ..._{d_{k}}^{d_{1}}  ) =: diag_{m,n}(d_{1}, …, d_{k}) ∈ Z^{m×n} ,

wobei k ∈ [0, min{m, n}], wobei d_{j} stets eine positive ganze Zahl ist, und wobei d_{j} stets d_{j+1} teilt. Die leergelassenen Einträge der Matrix diag_{m,n}(d_{1}, …, d_{k}) sind hierbei gleich 0. Die Zahlen d_{1}, …, d_{k} heißen Elementarteiler von A, die Matrix diag_{m,n}(d_{1}, …, d_{k}) deren Smithsche Normalform.

(2) Analog, seien m, n ≥ 1, sei K ein Körper, sei A ∈ K[X]^{m×n}, und sei GL_{m}(K[X]) := Inv(K[X]^{m×m}). Zeige, daß es S ∈ GL_{m}(K[X]) und T ∈ GL_{n}(K[X]) so gibt, daß

SAT = diag_{m,n}(d_{1}(X), …, d_{k}(X)) ∈ K[X]^{m×n} ,

wobei k ∈ [0, min{m, n}], wobei d_{j}(X) stets ein normiertes Polynom ist, und wobei d_{j}(X) stets d_{j+1}(X) teilt.

(3) Berechne Elementarteiler von (\begin{matrix}2 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix}) ∈ Z^{2×3}, von (\begin{matrix}−8 & 12 & −8 \\ 6 & 2 & 4 \\ 10 & −10 & 8 \end{matrix}) ∈ Z^{3×3} und von (\begin{matrix}X & 1 \\ 0 & X \end{matrix} ) ∈ R[X]^{2×2}.

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