M. Künzer, J. Marhenke

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Lösung 11

Aufgabe 44.

(1) (a) Wir rechnen z.B. det (\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 7 \\ 5 & 3 & s \end{matrix}) = det (\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 7 \\ −1 & 0 & s \end{matrix}) = − det (\begin{matrix}−1 & 7 \\ −1 & s \end{matrix}) = s − 7.

(b) A ist singulär, falls s − 7 = 0, also für s = 7.

(c) Der Eintrag von A^{−1} bei (1, 3) ist (−1)^{3+1}(det A)^{−1} det A_{3,1} = (s − 7)^{−1} det (\begin{matrix}1 & 0 \\ 2 & 7 \end{matrix}) = \frac{7}{s−7}.

(2) (a) Wir rechnen z.B. det (\begin{matrix}i & 1 & 1 & 1 \\ 0 & i & s & i \\ i & 0 & 1 & 1 \\ 1 & i & i & s \end{matrix}) = det (\begin{matrix}i & 1 & 1 & 1 \\ 0 & i & s & i \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 2i & 2i & s+i \end{matrix}) = i det (\begin{matrix}i & s & i \\ −1 & 0 & 0 \\ 2i & 2i & s+i \end{matrix}) = i det (\begin{matrix}s & i \\ 2i & s+i \end{matrix}) = i(s^{2} + is + 2)

= i(s + 2i)(s − i).

(b) A ist singulär für s ∈ {i, −2i}.

(c) Der Eintrag von A^{−1} bei (1, 4) ist (−1)^{4+1}(det A)^{−1} det A_{4,1} = −(det A)^{−1} det (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ i & s & i \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) = −(det A)^{−1} det (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & s−i & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) = \frac{i}{s+2i}.

(3) (a) Wir rechnen z.B. det (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ ι & 0 & 1 & s & ι \\ s & 1 & 0 & 1 & ι \\ 0 & 1 & ι & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & s \end{matrix}) = det (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ ι & 0 & 1 & s & ι \\ s & 0 & 0 & 0 & ι \\ 0 & 0 & ι & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & s \end{matrix}) = − det (\begin{matrix}ι & 1 & s & ι \\ s & 0 & 0 & ι \\ 0 & ι & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & s \end{matrix}) = −s det (\begin{matrix}s & 0 & ι \\ 0 & ι & 0 \\ 1 & 0 & s \end{matrix}) = −sι det (\begin{matrix}s & ι \\ 1 & s \end{matrix})

= −ιs(s^{2} − ι).

(b) A ist singulär für s ∈ {0, ι − 1, −ι + 1}.

(c) Der Eintrag von A^{−1} bei (1, 5) ist (−1)^{5+1}(det A)^{−1} det A_{5,1} = (det A)^{−1} det (\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & s & ι \\ 1 & 0 & 1 & ι \\ 1 & ι & 1 & 0 \end{matrix}) = (det A)^{−1} det (\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & s & ι \\ 0 & 0 & 0 & ι \\ 0 & ι & 0 & 0 \end{matrix})

= (det A)^{−1} det (\begin{matrix}1 & s & ι \\ 0 & 0 & ι \\ ι & 0 & 0 \end{matrix}) = \frac{−ι}{s^{2}−ι}.

Aufgabe 45.

(1) Wir erhalten det (\begin{matrix}0 & 1 & & 1 & & ··· & 1 \\ 1 & 0 & & 1 & & ··· & 1 \\ & & . & . & . \\ 1 & ··· & & 1 & & 0 & 1 \\ 1 & ··· & & 1 & & 1 & 0 \end{matrix} ) = det (\begin{matrix}0 & 1 & 1 & ··· & 1 \\ 1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ . & . & . \\ 1 & 0 & ··· & −1 & 0 \\ 1 & 0 & ··· & 0 & −1 \end{matrix} ) = det (\begin{matrix}n−1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ . & . & . \\ 1 & 0 & ··· & −1 & 0 \\ 1 & 0 & ··· & 0 & −1 \end{matrix} ) = (−1)^{n−1}(n − 1).

(2) Es ist a_{n} := det (\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & ··· & 0 \\ & & ... & ... & ... \\ 0 & ··· & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) =^{1. Zeile} det \underbrace{(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & ··· & 0 \\ & & ... & ... & ... \\ 0 & ··· & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )}_{(n−1)×(n−1)} − det \underbrace{(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & ··· & 0 \\ & & ... & ... & ... \\ 0 & ··· & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )}_{(n−1)×(n−1)}

= det \underbrace{(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & ··· & 0 \\ & & ... & ... & ... \\ 0 & ··· & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )}_{(n−1)×(n−1)} − det \underbrace{(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & ··· & 0 \\ & & ... & ... & ... \\ 0 & ··· & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )}_{(n−2)×(n−2)} = a_{n−1} − a_{n−2} .

Ferner ist a_{1} = det(1) = 1 und a_{2} = det (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = 0. Die Rekursionsformel liefert insbesondere a_{7} = 1 = a_{1} und a_{8} = 0 = a_{2}, so daß wir das folgende periodische Verhalten ersehen können.

a_{n} = \{ \begin{matrix}−1 für & n ≡_{6} 3, n ≡_{6} 4 \\ 0 für & n ≡_{6} 2, n ≡_{6} 5 \\ 1 für & n ≡_{6} 0, n ≡_{6} 1 . \end{matrix}

(3) Im folgenden bezeichne a_{n} das Ergebnis aus Teilaufgabe (2). Wir stellen folgende Nebenrechnung vor, wobei n ≥ 3.

b_{n} := det \underbrace{(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & ··· & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & ··· & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & ··· & 0 \\ & & ... & ... & ... \\ 0 & ··· & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & ··· & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & ··· & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )}_{n×n} =^{1. Spalte} a_{n−1} − det \underbrace{(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & ··· & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & ··· & 0 \\ & & ... & ... & ... \\ 0 & ··· & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & ··· & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & ··· & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} )}_{(n−1)×(n−1)} +(−1)^{n+1} det \underbrace{(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & ··· & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & ··· & 0 \\ & & ... & ... & ... \\ 0 & ··· & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & ··· & 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} )}_{(n−1)×(n−1)}

=^{jeweils 1. Zeile} a_{n−1} − (a_{n−2} + (−1)^{(n−1)+1}) + (−1)^{n+1}(1 + (−1)^{(n−1)+1}a_{n−2}) = a_{n−1} − 2a_{n−2} + 2(−1)^{n+1}.

Für n ≥ 5 wird

det (\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & ··· & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & ··· & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & ··· & 1 \\ & & ... & ... & ... \\ 1 & ··· & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & ··· & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & ··· & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) = det (\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & ··· & 1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 0 & −1 & −1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 1 & −1 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 1 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ & & & & ... & ... & ... \\ 1 & 1 & 0 & ··· & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} ) = \frac{1}{3} det (\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & ··· & 3 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 0 & −1 & −1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 1 & −1 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 1 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ & & & & ... & ... & ... \\ 1 & 1 & 0 & ··· & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} )

= \frac{1}{3} det (\begin{matrix}n−2 & n−3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 0 & −1 & −1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 1 & −1 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 1 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ & & & & ... & ... & ... \\ 1 & 1 & 0 & ··· & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} ) = \frac{1}{27} det (\begin{matrix}3n−6 & 3n−9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 3 & 0 & −1 & −1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 3 & 3 & −1 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 3 & 3 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ & & & & ... & ... & ... \\ 3 & 3 & 0 & ··· & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 \\ 3 & 3 & 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} ) = \frac{1}{27} det (\begin{matrix}3n−6 & 3n−9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 3 & 0 & −1 & −1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 3 & 3 & −1 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 3 & 3 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ & & & & ... & ... & ... \\ 3 & 3 & 0 & ··· & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 \\ 3 & 3 & 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} )

= \frac{1}{27} det (\begin{matrix}3n−5 & 3n−8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 1 \\ −1 & −1 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & −2 & −1 & −1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ & & & & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ··· & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 & ··· & 0 & 0 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} ) = \frac{1}{27} det (\begin{matrix}3n−5 & 3n−8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 1 \\ −1 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & −2 & −1 & −1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ & & & & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ··· & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} )

= \frac{1}{27} det (\begin{matrix}3n−5 & −3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 1 \\ −1 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & −3 & −1 & −1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ & & & & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ··· & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} ) = −\frac{1}{9} det (\begin{matrix}3n−5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 1 \\ −1 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 1 & 1 & −1 & −1 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ & & & & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ··· & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} )

= −\frac{1}{9} det (\begin{matrix}3n−6 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ −1 & 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 1 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 & −1 \\ 0 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ & & & & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ··· & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} ) =^{2. Spalte} \frac{1}{9} det \underbrace{(\begin{matrix}−1 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 & −1 \\ 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ & & & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ··· & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 \\ 0 & −1 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} )}_{(n−1)×(n−1)} +\frac{1}{9} det \underbrace{(\begin{matrix}3n−6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ −1 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & 0 & ··· & 0 \\ 0 & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 & ··· & 0 \\ & & & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ··· & 0 & −1 & −1 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 & −1 \\ 0 & −1 & 0 & ··· & 0 & 0 & −1 & −1 \end{matrix} )}_{(n−1)×(n−1)}

= −\frac{1}{9}(−1)^{n−2}b_{n−2} + \frac{1}{9}(6 − 3n)(−1)^{n−3}a_{n−3}

= \frac{1}{9}(−(−1)^{n−2}(a_{n−3} − 2a_{n−4} + 2(−1)^{n−1}) + (6 − 3n)(−1)^{n−3}a_{n−3}) = \{ \begin{matrix}−\frac{n}{3} + 1 für & n ≡_{3} 0 \\ \frac{n}{3} − \frac{1}{3} für & n ≡_{3} 1 \\ 0 für & n ≡_{3} 2 \end{matrix} .

Dies gilt nun auch für n ∈ [1, 4], wie man direkt überprüft, also insgesamt für n ≥ 1. Aufgabe 46. Direkte Lösung. Da A invertierbar ist, ist x = A^{−1}b. Mit der Cramerschen Regel wird mithin für i ∈ [1, n]

ξ_{i} = ∑_{j∈[1,n]} ((det A)^{−1}(−1)^{i+j} det A_{j,i})ϑ_{j} = (det A)^{−1} ∑_{j∈[1,n]}(−1)^{i+j}ϑ_{j} det A_{j,i} ,

und letztere Summe ist die Laplaceentwicklung von det(a_{∗,1}, ⋯, a_{∗,i−1}, b, a_{∗,i+1}, ⋯, a_{∗,n}) nach der iten Spalte. Indirekte Kurzlösung. Ist b = Ax = ∑_{j∈[1,n]} a_{∗,j}ξ_{j}, so ist det(a_{∗,1}, ⋯, a_{∗,i−1}, b, a_{∗,i+1}, ⋯, a_{∗,n}) = det(a_{∗,1}, ⋯, a_{∗,i−1}, ∑_{j∈[1,n]} ξ_{j}a_{∗,j}, a_{∗,i+1}, ⋯, a_{∗,n}) = ξ_{i} det A , woraus das Resultat ebenfalls folgt. Aufgabe 47. Nach Anwendung eines Isomorphismus V \overline{}K^{n}, x_{i} \overline{}e_{i} dürfen wir annehmen, daß \underline{x} = \underline{e} und daß \underline{y} das Spaltentupel einer regulären Matrix A = (η_{i,j})_{i,j} ∈ K^{n×n} ist. Für ein gegebenes k ∈ [1, n] müssen wir nun ein j ∈ [1, n] so finden, daß (e_{1}, …, e_{j−1}, y_{k}, e_{j+1} …, e_{n}) und (y_{1}, …, y_{k−1}, e_{j}, y_{k+1}, …, y_{n}) Spaltentupel regulärer Matrizen sind, i.e. derart, daß 0 ≠ det(e_{1}, …, e_{j−1}, y_{k}, e_{j+1} …, e_{n}) = η_{j,k} und 0 ≠ det(y_{1}, …, y_{k−1}, e_{j}, y_{k+1}, …, y_{n}) = ± det A_{j,k} sind. Mit Laplace nach der k-ten Spalte wird

0 ≠ det A = ∑_{j∈[1,n]}(−1)^{j+k}η_{j,k} det A_{j,k} ,

also gibt es in der Tat wenigstens ein j ∈ [1, n], für welches weder η_{j,k} noch det A_{j,k} verschwindet. Aufgabe 48.

(1) Die Aussage ist falsch. Für A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ∈ R^{2×2} ist A − A^{t} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) regulär.

(2) Die Aussage ist richtig. Es gilt det(A − A^{t}) = det((A − A^{t})^{t}) = det(A^{t} − A) = det(−(A − A^{t})) = (−1)^{n} det(A − A^{t}). Für n ungerade folgt also det(A − A^{t}) = − det(A − A^{t}), mithin det(A − A^{t}) = 0. Somit ist A − A^{t} singulär.