M. Künzer, J. Marhenke Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Lösung 12

Aufgabe 48.

(1) (a) Das charakteristische Polynom ist χ_{A}(X) = (X − 1)^{2}(X + 1). Die Matrix hat die Eigenwerte λ_{1} = 1 mit algebraischer Vielfachheit 2 und λ_{2} = −1 mit algebraischer Vielfachheit 1.

(b) Eine Basis von E_{A}(1) ist z.B. gegeben durch ((\begin{matrix}3/2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−3/2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})). Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ_{1} = 1 ist

2. Eine Basis von E_{A}(−1) ist z.B. gegeben durch ((\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})). Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ_{2} = −1 ist 1.

(c) Es gilt H_{A}(1) = E_{A}(1) und H_{A}(−1) = E_{A}(−1). In der Tat ist das zusammengesetzte Tupel ((\begin{matrix}3/2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−3/2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})) eine

Basis von C^{3}, was die Hauptraumzerlegung verifiziert.

(Jordan: z.B. S = (\begin{matrix}3 & −3 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}) liefert S^{−1}AS = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}), die Matrix ist diagonalisierbar, μ_{A}(X) = (X−1)(X+1). Elementarteiler der charakteristischen Matrix sind 1, (X + 1), (X − 1)(X + 1).)

(2) (a) Das charakteristische Polynom ist χ_{A}(X) = X(X − i)^{2}. Die Matrix hat die Eigenwerte λ_{1} = 0 mit algebraischer Vielfachheit 1 und λ_{2} = i mit algebraischer Vielfachheit 2.

(b) Eine Basis von E_{A}(0) ist z.B. gegeben durch ((\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})). Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ_{1} = 0 ist 1. Eine

Basis von E_{A}(i) ist z.B. gegeben durch ((\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})). Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ_{2} = i ist 1.

(c) Es gilt H_{A}(0) = E_{A}(0). Ferner ist z.B. ((\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})) eine Basis von H_{A}(i). In der Tat ist nun das zusammengesetzte Tupel

((\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})) eine Basis von C^{3}, was die Hauptraumzerlegung verifiziert.

(Jordan: z.B. S = (\begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 1 & −1 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix}) liefert S^{−1}AS = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 1 \\ 0 & 0 & i \end{matrix}). Die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Es ist μ_{A}(X) = X(X − i)^{2}.

Elementarteiler der charakteristischen Matrix sind 1, 1, X(X − i)^{2}.)

(3) (a) Das charakteristische Polynom ist χ_{A}(X) = (X −2)^{4}. Die Matrix hat den Eigenwert λ_{1} = 2 mit algebraischer Vielfachheit 4.

(b) Eine Basis von E_{A}(2) ist z.B. gegeben durch ((\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})). Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ_{1} = 2 ist 1.

(c) Wie sich durch eine sukzessive Rechnung ergibt, ist z.B. ((\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ −1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1/2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})) eine Basis von H_{A}(2). Wir erkennen

H_{A}(2) = C^{4}, was die direkte Zerlegung (in einen einzigen direkten Summanden) bestätigt. Verwendet man diese direkte Zerlegung von vorneherein, so kann man natürlich sofort die Standardbasis als Basis von H_{A}(2) angeben.

(Jordan: z.B. S = (\begin{matrix}2 & 1 & −1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \end{matrix}) liefert S^{−1}AS = (\begin{matrix}2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix}). Die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Es ist μ_{A}(X) = (X − 2)^{4}.

Elementarteiler der charakteristischen Matrix sind 1, 1, 1, (X − 2)^{4}.)

(4) (a) Das charakteristische Polynom ist χ_{A}(X) = (X − 1)^{4}(X + 1)^{2}. Die Matrix hat die Eigenwerte λ_{1} = 1 mit algebraischer Vielfachheit 4 und λ_{2} = −1 mit algebraischer Vielfachheit 2.

(b) Eine Basis von E_{A}(1) ist z.B. gegeben durch ((\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )). Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ_{1} = 1 ist 2.

Eine Basis von E_{A}(−1) ist z.B. gegeben durch ((\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )). Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts −1 ist 2.

(c) Es gilt H_{A}(−1) = E_{A}(−1). Ferner ist z.B. ((\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )) eine Basis von H_{A}(1). In der Tat ist nun das

zusammengesetzte Tupel ((\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )) eine Basis von C^{6}, was die direkte Zerlegung in

Haupträume bestätigt.

(Jordan: z.B. S = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & −1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \end{matrix} ) liefert S^{−1}AS = (\begin{matrix}−1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ). Die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Es ist μ_{A}(X) =

(X + 1)(X − 1)^{3}. Elementarteiler der charakteristischen Matrix sind 1, 1, 1, 1, (X + 1)(X − 1), (X + 1)(X − 1)^{3}.)

Aufgabe 49.

(1) Als charakteristisches Polynom erhalten wir

χ_{A}(X) = det (\begin{matrix}X−1 & −1 & −1 & ··· & −1 & −1 \\ −1 & X−1 & −1 & ··· & −1 & −1 \\ −1 & −1 & X−1 & ··· & −1 & −1 \\ . & . & . \\ −1 & −1 & −1 & ··· & X−1 & −1 \\ −1 & −1 & −1 & ··· & −1 & X−1 \end{matrix} ) = det (\begin{matrix}X−1 & −1 & −1 & ··· & −1 & −1 \\ −X & X & 0 & ··· & 0 & 0 \\ −X & 0 & X & ··· & 0 & 0 \\ . & . & . \\ −X & 0 & 0 & ··· & X & 0 \\ −X & 0 & 0 & ··· & 0 & X \end{matrix} ) = X^{n−1} det (\begin{matrix}X−1 & −1 & −1 & ··· & −1 & −1 \\ −1 & 1 & 0 & ··· & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 1 & ··· & 0 & 0 \\ . & . & . \\ −1 & 0 & 0 & ··· & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & ··· & 0 & 1 \end{matrix} )

= X^{n−1} det (\begin{matrix}X−n & 0 & 0 & ··· & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 & ··· & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 1 & ··· & 0 & 0 \\ . & . & . \\ −1 & 0 & 0 & ··· & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & ··· & 0 & 1 \end{matrix} ) = X^{n−1}(X − n) .

Z.B. ist (( −1 ; 1 ; 0 ; ⋮ ; 0 ; 0 ) , ( −1 ; 0 ; 1 ; 0 ; ⋮ ; 0 ) , …, ( −1 ; 0 ; ⋮ ; 0 ; 0 ; 1 )) eine Basis von E_{A}(0). Für E_{A}(n) ist eine Basis z.B. gegeben durch (( 1 1 1 ⋮ 1 1 )).

(2) Mit Induktion wird

χ_{A}(X) = det \underbrace{(\begin{matrix}X & −1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & X & −1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & X & −1 & ⋯ & 0 \\ & & & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & X & −1 \\ −a_{0} & −a_{1} & −a_{2} & ⋯ & −a_{n−2} & X−a_{n−1} \end{matrix} )}_{n×n} = X det \underbrace{(\begin{matrix}X & −1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & X & −1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & X & −1 & ⋯ & 0 \\ & & & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & X & −1 \\ −a_{1} & −a_{2} & −a_{3} & ⋯ & −a_{n−2} & X−a_{n−1} \end{matrix} )}_{(n−1)×(n−1)} +(−1)^{n−1}(−a_{0}) det \underbrace{(\begin{matrix}−1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ X & −1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & X & −1 & ⋯ & 0 \\ & & ... & ... \\ 0 & 0 & ⋯ & X & −1 \end{matrix} )}_{(n−1)×(n−1)}

= X(X^{n−1} − a_{n−1}X^{n−2} − ⋯ − a_{2}X − a_{1}) − a_{0} = X^{n} − a_{n−1}X^{n−1} − ⋯ − a_{1}X − a_{0} .

Sei χ_{A}(X) = ∏_{j∈[1,k]}(X − λ_{j})^{m_{j}} mit λ_{j} ≠ λ_{j′} für j ≠ j′. Für einen Eigenwert λ_{j} erhalten wir

E_{A}(λ_{j}) = Kern(λ_{j}E − A) = Kern (\begin{matrix}λ_{j} & −1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & λ_{j} & −1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & λ_{j} & −1 & ⋯ & 0 \\ & & & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & λ_{j} & −1 \\ −a_{0} & −a_{1} & −a_{2} & ⋯ & −a_{n−2} & λ_{j}−a_{n−1} \end{matrix} ) = Kern (\begin{matrix}λ_{j} & −1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ λ_{j}^{2} & 0 & −1 & 0 & ⋯ & 0 \\ λ_{j}^{3} & 0 & 0 & −1 & ⋯ & 0 \\ & & & ... & ... \\ λ_{j}^{n−1} & 0 & 0 & ⋯ & 0 & −1 \\ −a_{0} & −a_{1} & −a_{2} & ⋯ & −a_{n−2} & λ_{j}−a_{n−1} \end{matrix} )

= Kern (\begin{matrix}λ_{j} & −1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ λ_{j}^{2} & 0 & −1 & 0 & ⋯ & 0 \\ λ_{j}^{3} & 0 & 0 & −1 & ⋯ & 0 \\ & & & ... & ... \\ λ_{j}^{n−1} & 0 & 0 & ⋯ & 0 & −1 \\ −a_{0}−a_{1}λ_{j}^{1}−···−a_{n−1}λ_{j}^{n−1}+λ_{j}^{n} & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \end{matrix} ) = Kern (\begin{matrix}λ_{j} & −1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ λ_{j}^{2} & 0 & −1 & 0 & ⋯ & 0 \\ λ_{j}^{3} & 0 & 0 & −1 & ⋯ & 0 \\ & & & ... & ... \\ λ_{j}^{n−1} & 0 & 0 & ⋯ & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \end{matrix} ) = ⟨( 1 ; λ_{j} ; λ_{j}^{2} ; λ_{j}^{3} ; ⋮ ; λ_{j}^{n−1} )⟩ ,

(Insbesondere ist die geometrische Vielfachheit von λ_{j} gleich 1, wie groß die algebraische Vielfachheit m_{j} auch immer ist.)

Aufgabe 50. Der Körper L = K(X) ist nicht algebraisch abgeschlossen, da das Polynom Y^{2} − X ∈ L[Y] in L keine Nullstelle besitzt. In der Tat, wäre a = \frac{f(X)}{g(X)} ∈ L mit a^{2} = \frac{(f(X))^{2}}{(g(X))^{2}} = X eine Nullstelle in L, so wäre 2 deg f = 2 deg g + 1, was nicht sein kann. Aufgabe 51.

(1) Die Aussage ist falsch. Man betrachte das Gegenbeispiel A = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}). Es ist E_{A}(1) = ⟨(\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix})⟩ und E_{A}(0) = ⟨(\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix})⟩. Dann ist (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) ≠ λ (\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) für alle λ ∈ C, und also (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) kein Eigenvektor.

(2) Die Aussage ist richtig. Da x Eigenvektor von A und von B ist, gilt Ax = λx für ein λ ∈ C und Bx = μx für ein μ ∈ C. Aus (A + B)x = Ax + Bx = (λ + μ)x ersehen wir, daß x Eigenvektor von A + B zum Eigenwert λ + μ ist.

(3) Die Aussage ist richtig. Erstes Argument. Es liegen x, y und z in verschiedenen Haupträumen von A. Mit der direkten Zerlegung von C^{n} in Haupträume folgt die lineare Unabhängigkeit von (x, y, z) aus dem Hauptzerlegungslemma. Zweites Argument (zu Fuß). Sei λ der Eigenwert zu x, sei μ der Eigenwert zu y, und sei ν der Eigenwert zu z. Sei ξx+ηy+ζz = 0 für ξ, η, ζ ∈ C. Wir haben zu zeigen, daß ξ = η = ζ = 0. Aus 0 = A·0 = ξAx+ηAy +ζAz = λξx+μηy +νζz folgt nach Subtraktion von 0 = λ(ξx + ηy + ζz), daß (μ − λ)ηy + (ν − λ)ζz = 0. Hieraus folgt nun wieder μ(μ − λ)ηy + ν(ν − λ)ζz = 0 mit Multiplikation mit A, und folglich nach Subtraktion von 0 = μ((μ − λ)ηy + (ν − λ)ζz), daß (ν − μ)(ν − λ)ζz = 0. Wegen z ≠ 0, ν ≠ μ und ν ≠ λ folgt ζ = 0. Daher ist auch (μ − λ)ηy = 0. Wegen y ≠ 0 und μ ≠ λ folgt η = 0. Schließlich folgt aus ξx = 0 mit x ≠ 0, daß auch ξ = 0.

(4) Die Aussage ist richtig. Wir suchen eine Matrix der Form (\begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & μ \end{matrix}) mit λ, μ ∈ C mit λμ = ξ und λ + μ = η. Einsetzen liefert die zu erfüllende Bedingung λ(η − λ) = ξ, was z.B. auf die Lösung λ = η/2 + \sqrt{η^{2}/4 + ξ}, μ = η/2 − \sqrt{η^{2}/4 + ξ} führt. (In C ist das Wurzelziehen wegen algebraischer Abgeschlossenheit möglich. Oder: ist z = r exp(iϑ), so ist \sqrt{z} = ±\sqrt{r} exp(iϑ/2), wobei man sich für + oder für − entscheiden kann.)

(5) Die Aussage ist richtig. Ist rk A = m < n, so gibt es ein x ∈ C^{n} ∖ {0} mit Ax = 0 = 0 · x. Demnach ist 0 ein Eigenwert von A. Ferner ist dim E_{A}(0) = dim Kern(A − 0E) = dim Kern A = n − rk A = n − m. Also ist die geometrische Vielfachheit von 0 gleich n − m.