M. Künzer, J. Marhenke

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Lösung 15

Aufgabe 60.

(1) Es ist A hermitesch, insbesondere unitär diagonalisierbar. Mit z.B.

U = \frac{1}{5\sqrt{2}} (\begin{matrix}5i & 0 & −5i \\ 3i & −4i\sqrt{2} & 3i \\ 4 & 3\sqrt{2} & 4 \end{matrix}) ∈ U_{3}(C) wird Ū^{t}AU = (\begin{matrix}6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −4 \end{matrix}).

Es ist A indefinit, wie aus dem Eigenwertkriterium hervorgeht.

(2) Es ist A normal, wie ein Vergleich Ā^{t}A = diag(4, 4, 4, 4) = AĀ^{t} zeigt. Es ist A aber

nicht hermitesch. (Hingegen ist \frac{1}{2}A unitär.) Mit z.B. U = \frac{1}{2}(\begin{matrix}\sqrt{2} & 0 & −1 & 1 \\ 0 & \sqrt{2} & −1 & −1 \\ \sqrt{2} & 0 & 1 & −1 \\ 0 & \sqrt{2} & 1 & 1 \end{matrix}) ∈ U_{4}(C) wird

Ū^{t}AU = (\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −2i \end{matrix}).

(3) Wegen Ā^{t}A − AĀ^{t} = (\begin{matrix}0 & 4i & 0 \\ −4i & 0 & −4i \\ 0 & 4i & 0 \end{matrix}) ist A nicht normal, also auch nicht unitär diagonalisierbar. Wenden wir also Schurs Lemma dafür an, durch unitäre Konjugation aus A eine obere Dreieckmatrix zu machen. Zunächst ist \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) ein normierter Eigenvektor von A (zum Eigenwert 0), welchen wir mit Gram-Schmidt in eine unitäre Matrix z.B. der Form

V := \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ U_{3}(C) als erste Spalte einstellen. Es ergibt sich

V̄^{t}AV = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 2i & \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{matrix}) .

Fahren wir mit dem rechten unteren 2×2-Block A′ := (\begin{matrix}2i & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 0 \end{matrix}) fort. Dieser hat den normierten

Eigenvektor \frac{1}{2} (\begin{matrix}1+i \\ √ & \overline{2} \end{matrix}) (zum Eigenwert 1 + i), welchen wir mit Gram-Schmidt z.B. die unitäre

Matrix W := \frac{1}{2} (\begin{matrix}1+i & −\sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 1−i \end{matrix}) ∈ U_{2}(C) als erste Spalte einstellen. Es ergibt sich

W̄^{t}A′W = (\begin{matrix}i+1 & −(i+1)\sqrt{2} \\ 0 & i−1 \end{matrix} ) .

Mit U := V · (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & W \end{matrix} ) = \frac{1}{2\sqrt{2}} (\begin{matrix}−2 & \sqrt{2} & 1−i \\ 0 & (1+i)\sqrt{2} & −2 \\ 2 & \sqrt{2} & 1−i \end{matrix}) ∈ U_{3}(C) wird also insgesamt

Ū^{t}AU = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & i+1 & −(i+1)\sqrt{2} \\ 0 & 0 & i−1 \end{matrix})

eine obere Dreiecksmatrix — aber keine Diagonalmatrix, was wegen A nicht normal auch nicht sein darf.

Es wäre eine interessante Aufgabe, zu untersuchen, welche oberen Dreiecksmatrizen zueinander unitär konjugiert sind; d.h. mit dem Schurschen Lemma eine Normalform von Matrizen unter unitärer Konjugation zu finden, analog der Jordanschen Normalform unter Konjugation.

(4) Es ist A hermitesch, insbesondere unitär diagonalisierbar. Mit z.B.

U = \frac{1}{2\sqrt{3}} (\begin{matrix}\sqrt{6} & 0 & 0 & 0 & 2 & \sqrt{2} \\ 0 & −\sqrt{6} & −\sqrt{2} & −1 & 1 & −\sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & −\sqrt{2} \\ 0 & 0 & 2\sqrt{2} & −1 & 1 & −\sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{6} & −\sqrt{2} & −1 & 1 & −\sqrt{2} \\ −\sqrt{6} & 0 & 0 & 0 & 2 & \sqrt{2} \end{matrix} ) ∈ U_{6}(C) ist Ū^{t}AU = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −2 \end{matrix} ).

Mit dem Eigenwertkriterium ist A also indefinit.

Aufgabe 61.

(1) Mit dem Eigenwertkriterium oder direkt mit der Definition über die quadratische Form, für die hier stets q_{A}(x) = 0 ist, sieht man, daß A sowohl positiv semidefinit als auch negativ semidefinit ist. Sie ist aber weder positiv noch negativ definit.

(2) Die Hauptminoren sind det A_{1} = det(1) = +1 > 0, det A_{2} = det (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) = +1 > 0 und

det A_{3} = det (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix}) = +3 > 0. Mit dem Hauptminorenkriterium ist A also positiv definit. (Das Eigenwertkriterium ist hier praktisch nicht anwendbar.))

(3) Die Hauptminoren sind det A_{1} = det(−1) = −1 < 0, det A_{2} = det (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −2 \end{matrix}) = +1 > 0,

det A_{3} = det (\begin{matrix}−1 & 0 & i \\ 0 & −2 & 2 \\ −i & 2 & −4 \end{matrix}) = −2 < 0 und det A_{4} = det (\begin{matrix}−1 & 0 & i & −i \\ 0 & −2 & 2 & 1 \\ −i & 2 & −4 & 0 \\ i & 1 & 0 & −2 \end{matrix}) = +1 > 0. Mit dem

Hauptminorenkriterium ist A also negativ definit. (Das Eigenwertkriterium ist hier praktisch nicht anwendbar.)

Aufgabe 62.

(1) Die Aussage ist richtig. Ist A unitär, so gibt es eine unitäre Matrix U mit Ū^{t}AU diagonal, mit Diagonaleinträgen von Betrag 1. Ist A dazuhin nilpotent, so auch die unitär konjugierte Matrix Ū^{t}(A−E)U = Ū^{t}AU −E. Diese ist allerdings diagonal, und kann daher nur nilpotent sein, wenn sie Null ist. Aus Ū^{t}AU = E folgt schließlich A = UEŪ^{t} = E.

(2) Die Aussage ist richtig. Ist A = −Ā^{t} (man sagt, schiefhermitesch), so ist A wegen Ā^{t}A = −A^{2} = AĀ^{t} auch normal. Sei U unitär mit Ū^{t}AU diagonal. Dann ist wegen −(\overline{Ū^{t}AU})^{t} = −Ū^{t}Ā^{t}U = Ū^{t}AU auch Ū^{t}AU schiefhermitesch, und das bedeutet für eine Diagonalmatrix, daß ihre Einträge in iR liegen (man sagt, rein imaginär sind).

(3) Die Aussage ist falsch. Z.B. erkennt man mit dem Hauptminorkriterium, daß (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) nicht positiv definit ist, und also wegen Regularität auch nicht positiv semidefinit sein kann.

(4) Die Aussage ist richtig. Denn ist A ∈ R^{n×n}, so ist A − A^{t} schiefhermitesch. Ihr charakteristisches Polynom ist reell, und hat mit (2) nur rein imaginäre Nullstellen. Nun ist für ein Polynom in R[X] mit einer komplexen Zahl auch ihre Konjugierte eine Nullstelle. Daher können die Nullstellen ungleich 0 von χ_{A}(X) zu Paaren zueinander konjugierter Nullstellen in iR ∖ {0} geordnet werden. Die Anzahl der Nullstellen von χ_{A}(X) ungleich Null, gezählt mit algebraischer Vielfachheit, ist also durch 2 teilbar. Diese Anzahl gibt aber zugleich den Rang von A.

(5) Die Aussage ist richtig. Ist A hermitesch und negativ definit, so ist zunächst A^{2} wegen \overline{(A^{2})}^{t} = (Ā^{t})^{2} = A^{2} ebenfalls hermitesch. Ferner gibt es eine unitäre Matrix U mit Ū^{t}AU diagonal, mit Diagonaleinträgen in R_{<0}. Damit ist (Ū^{t}AU)^{2} = Ū^{t}A^{2}U eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen in R_{>0}, so daß mit Eigenwertkriterium A^{2} positiv definit ist.

(6) Die Aussage ist falsch. Zum Beispiel ist für A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) das Produkt (^{ξ_{1}} ^{ξ_{2}} ) (\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \end{matrix} ) = 0

für alle Vektoren x = (\begin{matrix}ξ_{2} \\ ξ_{2} \end{matrix} ) ∈ R^{2}.

(7) Die Aussage ist richtig. Sei also x̄^{t}Ax = 0 für alle x ∈ C, und schreibe A = (a_{i,j})_{i,j}. Dann ist insbesondere ē_{j}^{t}Ae_{j} = a_{j,j} = 0 für j ∈ [1, n]. Dann sehen wir, daß (\overline{e_{j} + e_{k}})^{t}A(e_{j} + e_{k}) = a_{k,j} + a_{j,k} = 0 und (\overline{e_{j} + ie_{k}})^{t}A(e_{j} + ie_{k}) = −ia_{k,j} + ia_{j,k} = 0, zusammen also in der Tat a_{j,k} = 0 für j, k ∈ [1, n] mit j ≠ k.