M. Künzer, J. Marhenke

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Lösung 4

Aufgabe 15.

\begin{matrix}(F_{4}, +) & 0 & 1 & α & 1 + α \\ 0 & 0 & 1 & α & 1 + α \\ 1 & 1 & 0 & 1 + α & α \\ α & α & 1 + α & 0 & 1 \\ 1 + α & 1 + α & α & 1 & 0 \end{matrix}  \begin{matrix}(F_{4}, ·) & 0 & 1 & α & 1 + α \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & α & 1 + α \\ α & 0 & α & 1 + α & 1 \\ 1 + α & 0 & 1 + α & 1 & α \end{matrix}

\begin{matrix}(F_{8}, ·) & 0 & 1 & β & 1 + β & β^{2} & 1 + β^{2} & β + β^{2} & 1 + β + β^{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & β & 1 + β & β^{2} & 1 + β^{2} & β + β^{2} & 1 + β + β^{2} \\ β & 0 & β & β^{2} & β + β^{2} & 1 + β & 1 & 1 + β + β^{2} & 1 + β^{2} \\ 1 + β & 0 & 1 + β & β + β^{2} & 1 + β^{2} & 1 + β + β^{2} & β^{2} & 1 & β \\ β^{2} & 0 & β^{2} & 1 + β & 1 + β + β^{2} & β + β^{2} & β & 1 + β^{2} & 1 \\ 1 + β^{2} & 0 & 1 + β^{2} & 1 & β^{2} & β & 1 + β + β^{2} & 1 + β & β + β^{2} \\ β + β^{2} & 0 & β + β^{2} & 1 + β + β^{2} & 1 & 1 + β^{2} & 1 + β & β & β^{2} \\ 1 + β + β^{2} & 0 & 1 + β + β^{2} & 1 + β^{2} & β & 1 & β + β^{2} & β^{2} & 1 + β \end{matrix}

\begin{matrix}(F_{9}, ·) & 0 & 1 & −1 & ι & ι + 1 & ι − 1 & −ι & −ι + 1 & −ι − 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & −1 & ι & ι + 1 & ι − 1 & −ι & −ι + 1 & −ι − 1 \\ −1 & 0 & −1 & 1 & −ι & −ι − 1 & −ι + 1 & ι & ι − 1 & ι + 1 \\ ι & 0 & ι & −ι & −1 & ι − 1 & −ι − 1 & 1 & ι + 1 & −ι + 1 \\ ι + 1 & 0 & ι + 1 & −ι − 1 & ι − 1 & −ι & 1 & −ι + 1 & −1 & ι \\ ι − 1 & 0 & ι − 1 & −ι + 1 & −ι − 1 & 1 & ι & ι + 1 & −ι & −1 \\ −ι & 0 & −ι & ι & 1 & −ι + 1 & ι + 1 & −1 & −ι − 1 & ι − 1 \\ −ι + 1 & 0 & −ι + 1 & ι − 1 & ι + 1 & −1 & −ι & −ι − 1 & ι & 1 \\ −ι − 1 & 0 & −ι − 1 & ι + 1 & −ι + 1 & ι & −1 & ι − 1 & 1 & −ι \end{matrix}

Aufgabe 16.

(1) In C ist (1 + i)^{3} = 1 + 3i + 3i^{2} + i^{3} = −2 + 2i und

(1 + 2i)^{−1} = \frac{1}{1 + 2i} · \frac{1 − 2i}{1 − 2i} = \frac{1 − 2i}{1 + 4} = \frac{1}{5} − \frac{2}{5}i .

(2) Zum Beispiel kann man (1 + α)^{5} = ((1 + α)^{2})^{2}(1 + α) = α^{2}(1 + α) = α rechnen. Ferner folgt aus α^{3} = 1, daß α^{−2} = α.

(3) In F_{9} gilt x^{8} = 1 für alle x ≠ 0. Daher ist (1 + ι)^{7} = (ι + 1)^{−1} = ι − 1. Aus der in Aufgabe 15 erstellten Tabelle liest man ab, daß ∑_{x∈F_{9}} x^{2} = 0 + 1 + 1 − 1 − ι + ι − 1 + ι − ι = 0.

(4) Man erhält aus obiger Tabelle für F_{8}, dass (1 + β + β^{2})^{−1} = β^{2}. Weiter ist 0^{14} = 0 und x^{14} = (x^{7})^{2} = 1^{2} = 1 für alle x ∈ F_{8} ∖ {0}.

Aufgabe 17.

(1) Es liegt kein Körper vor, da 119 = 7 · 17 keine Primzahl ist. Der Ring Z/119Z hat 119 Elemente.

(2) In C[X] gilt X^{2} + 1 = (X + i)(X − i). Das Polynom X^{2} + 1 ist also reduzibel und damit ist (der unendliche Ring) C[X]/(X^{2} + 1)C[X] kein Körper.

(3) In diesem Fall ist R ein Körper, da X^{3} + X^{2} + 1 ein Polynom von Grad 3 ist, das keine Nullstellen in F_{5} besitzt, und somit irreduzibel ist. Der Körper hat 5^{3} = 125 Elemente.

(4) In F_{2}[X] ist X^{4} + X^{2} + 1 = (X^{2} + X + 1)^{2} reduzibel. Damit ist R ein Ring mit 2^{4} = 16 Elementen, aber kein Körper.

(5) Das Polynom X^{3} + α ∈ F_{4}[X] besitzt in F_{4} keine Nullstelle, da 0^{3} = 0 und x^{3} = 1 für alle x ∈ F_{4} ∖ {0}. Da das Polynom von Grad 3 ist, ist es irreduzibel und somit ist R ein Körper mit 4^{3} = 64 Elementen.

(6) Wir zeigen, dass R ein Körper ist. Zunächst stellt man fest, dass X^{4}+X^{2}+X +1 keine Nullstellen in F_{3} besitzt. Achtung: Dies zeigt noch nicht, dass das Polynom irreduzibel ist, da es von Grad 4 ist! Aber es zeigt, dass keine Faktorisierung des Polynoms existiert, die einen Faktor von Grad 1 enthält. Somit genügt es, alle irreduziblen Polynome von Grad 2 aufzulisten, namentlich X^{2} + X − 1, X^{2} − X − 1 und X^{2} + 1, und nachzurechnen, dass X^{4} + X^{2} + X + 1 nicht das Produkt zweier solcher Faktoren ist.

(·)  X^{2} + X − 1  X^{2} − X − 1  X^{2} + 1
X^{2} + X − 1 X^{4} − X^{3} − X^{2} + X + 1  X^{4} + 1  X^{4} + X^{3} + X − 1
X^{2} − X − 1  X^{4} + X^{3} − X^{2} − X + 1 X^{4} − X^{3} − X − 1
X^{2} + 1  X^{4} − X^{2} + 1

Damit sehen wir, dass X^{4} + X^{2} + X + 1 irreduzibel ist. Somit ist R ein Körper mit 3^{4} = 81 Elementen.

Aufgabe 18.

(1) In F_{2}[X] gibt es nur ein irreduzibles Polynom von Grad 2, und zwar X^{2} + X + 1. Alle anderen normierten Polynome von Grad 2, als da wären X^{2}, X^{2} + 1, X^{2} + X, haben eine Nullstelle in F_{2}. Nur X^{2} + X + 1 hat keine Nullstelle, und da es von Grad ≤ 3 ist, genügt dies, um darauf schließen zu können, daß es irreduzibel ist.

(2) Es genügt, alle normierten Polynome aus F_{4}[X] aufzulisten, die keine Nullstellen in F_{4} besitzen. Hierbei kann die Nullstelle 0 durch einen nichtverschwindenden konstanten Term ausgeschlossen werden, sowie von Vorteil verwandt werden, daß x^{3} = 1 für x ∈ F_{4} ∖ {0}. Die irreduziblen Polynome sind gegeben durch: X^{3} + α, X^{3} + (1 + α), X^{3} + X + 1, X^{3} + αX + 1, X^{3} + (1 + α)X + 1, X^{3} + X^{2} + 1, X^{3} + X^{2} + X + α, X^{3} + X^{2} + X + (1 + α), X^{3} + X^{2} + αX + (1 + α), X^{3} + X^{2} + (1 + α)X + α, X^{3} + αX^{2} + 1, X^{3} + (1 + α)X^{2} + 1, X^{3} + αX^{2} + X + (1 + α), X^{3} + (1 + α)X^{2} + X + α, X^{3} + αX^{2} + αX + α, X^{3} + (1 + α)X^{2} + (1 + α)X + (1 + α), X^{3} + αX^{2} + (1 + α)X + α, X^{3} + (1 + α)X^{2} + αX + (1 + α), X^{3} + αX^{2} + (1 + α)X + (1 + α), X^{3} + (1 + α)X^{2} + αX + α. Das sind insgesamt 20 Stück.

(3) Zunächst muss man bestimmen, wieviele irreduzible Polynome von Grad 2 es in F_{p}[X] gibt. Es gibt p^{2} normierte Polynome von Grad 2. Außerdem gibt es in F_{p}[X] nur p mögliche Faktoren von Grad 1. Es gibt p Polynome von Grad 2, die Quadrat eines solchen Faktors sind. Ferner gibt es noch \frac{p(p−1)}{2} Polynome von Grad 2, die Produkt zweier verschiedener Faktoren sind. Also gibt es p^{2} − \frac{p^{2}−p}{2} − p = (p^{2} − p)/2 irreduzible Polynome von Grad 2. Ein normiertes Polynom von Grad 3 kann irreduzibel sein, oder es kann zerfallen in drei irreduzible Faktoren, die jeweils von Grad 1 sind, oder es kann zerfallen in ein Produkt aus einem irreduziblen Faktor von Grad 2 und einem von Grad 1. Insgesamt gibt es p^{3} normierte Polynome von Grad 3 in F_{p}[X]. Davon zerfallen mit obiger Überlegung p · p(p − 1)/2 Polynome in ein Produkt, das einen irreduziblen Faktor von Grad 2 enthält. Ist ein Polynom Produkt von 3 Faktoren von Grad 1, so können alle Faktoren identisch sein, es können zwei gleiche auftreten oder es können alle drei verschieden sein. Für 3 gleiche Faktoren gibt es p Möglichkeiten, für zwei gleiche Faktoren gibt es p(p − 1) Möglichkeiten, und \frac{p(p−1)(p−2)}{3!} Polynome besitzten eine Zerlegung in 3 verschiedene Faktoren. Also gibt es p + p(p − 1) + \frac{p(p−1)(p−2)}{3!} Polynome, die in 3 Faktoren von Grad 1 zerfallen. Insgesamt gibt es also

p^{3} − [p + p(p − 1) + \frac{p(p − 1)(p − 2)}{3!} + p^{2}(p − 1)/2] = \frac{p^{3} − p}{3}

irreduzible Polynome von Grad 3 in F_{p}[X]. (Bemerkung: Dieselben Überlegungen kann man auch in F_{4}[X] anwenden und erhält (4^{3} − 4)/3 = 20 irreduzible Polynome von Grad 3 — das ist eine alternative Lösung von (2), die ohne die Berechnung aller dieser Polynome auskommt.)

Aufgabe 19.

(1) Die Aussage ist falsch. Für p = 2 ist das Polynom f(X) = (X^{2} + X + 1)^{2} ∈ F_{2}[X] nicht irreduzibel, wohl aber ohne Nullstelle in F_{2}.

(2) Die Aussage ist falsch. Sei p prim beliebig gewählt. Für die Polynome f(X) = X und g(X) = X^{p} in F_{p}[X] ist f(X) ≠ g(X), aber f(x) = g(x) für alle x ∈ F_{p}.

(3) Die Aussage ist wahr. ⟹: Ist f(X) = g(X), so ist auch f(x) = g(x) für alle x ∈ R. ⟸: Ist f(x) = g(x) für alle x ∈ R, so ist h(X) := f(X) − g(X) ein Polynom mit h(x) = 0 für alle x ∈ R. Wir nehmen an, es sei h(X) ≠ 0 und schreiben m = deg h. Seien x_{1}, …, x_{m+1} paarweise verschiedene Elemente von R. Durch Abspalten der zu diesen Nullstellen von h(X) gehörigen Linearfaktoren (X − x_{1}), …, (X − x_{m+1}) erkennt man, daß das Produkt (X − x_{1}) ⋯ (X − x_{m+1}) ein Teiler von h(X) sein muß, insbesondere also, daß deg h ≥ m + 1, Widerspruch. Also ist h(X) = 0, und mithin f(X) = g(X).

(4) Die Aussage ist falsch. Bezeichne K := F_{4}[X]/(X^{3} + α)F_{4}[X] den Körper aus Aufgabe 18 (5). Sei γ := X̄ in K. Es lässt sich jedes Element aus K eindeutig in der Form (a + bα) + (c + dα)γ + (e + fα)γ^{2} mit a, b, c, d, e, f ∈ F_{2} schreiben. Insbesondere werden γ^{0} = 1, γ^{1} = γ, γ^{2} = γ^{2}, γ^{3} = α, γ^{4} = αγ, γ^{5} = αγ^{2} und γ^{6} = 1 + α. Daraus erkennt man zum einen, dass kein Polynom g(X) ∈ F_{2}[X] mit deg g ≤ 5 existiert mit g(γ) = 0, und zum anderen, daß für f(X) := X^{6} + X^{3} + 1 ∈ F_{2}[X] gilt, daß f(γ) = 0. Wir behaupten, daß f(X) irreduzibel ist. Angenommen, es gelte f(X) = g(X) · h(X) für g(X), h(X) ∈ F_{2}[X] mit deg g, deg h ≤ 5. Dann ist 0 = f(γ) = g(γ) · h(γ). Da K ein Körper ist, folgt g(γ) = 0 oder h(γ) = 0, was wir eben ausgeschlossen haben, Widerspruch. Dies zeigt die Behauptung, daß f(X) = X^{6} + X^{3} + 1 ∈ F_{2}[X] in der Tat irreduzibel ist — und dies, ohne alle irreduziblen Polynome von Grad ≤ 3 daraufhin zu testen, ob sie f(X) teilen.