M. Künzer, J. Marhenke

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Lösung 6

Aufgabe 24.

(1) Eine Basis von ⟨\underline{x}⟩ ist z.B. gegeben durch das Tupel ((\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−3 \\ 5 \\ 1 \end{matrix})). Dieses kann beispielsweise durch

den Vektor (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) zu einer Basis von V ergänzt werden. Es gilt dim⟨\underline{x}⟩ = 2.

(2) Eine Basis von ⟨\underline{x}⟩ ist z.B. gegeben durch das Tupel ((\begin{matrix}i \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})). Dieses kann beispielsweise

durch den Vektor (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) zu einer Basis von V ergänzt werden. Es gilt dim⟨\underline{x}⟩ = 3.

Achtung: Das Tupel \underline{x} darf nicht durch Streichung eines beliebigen Vektors verkürzt werden. Ins-

besondere darf der Vektor (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) nicht gestrichen werden.

(3) Eine Basis von ⟨\underline{x}⟩ ist z.B. gegeben durch das Tupel ((X −1)^{4}, (X −1)^{3}). Dieses kann beispielsweise durch das Tupel (1, X, X^{2}) zu einer Basis von V ergänzt werden. Es gilt dim⟨\underline{x}⟩ = 2.

(4) Eine Basis von ⟨\underline{x}⟩ ist z.B. gegeben durch das Tupel ((\begin{matrix}1 \\ β \\ β+1 \end{matrix})). Dieses kann beispielsweise durch das

Tupel ((\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})) zu einer Basis von V ergänzt werden. Es gilt dim⟨\underline{x}⟩ = 1.

Aufgabe 25.

(1) Eine Basis von T ∩ U ist z.B. gegeben durch ((\begin{matrix}3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})). Als Basis von T + U kann

((\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})) gewählt werden. Die Summe ist wegen T ∩ U ≠ 0 nicht direkt.

(2) Wegen T ∩ U = 0 ist das leere Tupel () eine Basis von T ∩ U. Eine Basis von T + U ist z.B.

gegeben durch ((\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})). Die Summe T + U ist wegen T ∩ U = 0 direkt, d.h.

T + U = T ⊕ U.

(3) Als Basis für T ∩ U kann das Tupel ((\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1+α \\ α \\ 0 \\ 1+α \end{matrix})) gewählt werden. Eine Basis von T + U ist z.B.

gegeben durch ((\begin{matrix}1 \\ α \\ 1 \\ 0 \\ α \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})). Wegen T ∩ U ≠ 0 ist die Summe nicht direkt.

Aufgabe 26.

(1) In F_{3}^{2} ∖ {0} gibt es 8 Vektoren. Also gibt es auch 8 linear unabhängige Tupel der Länge 1. Für jeden Untervektorraum der Dimension 1 gibt es 2 verschiedene Basen, da #(F_{3} ∖ {0}) = 2. Weil also je zwei verschiedene Basen der Länge 1 denselben Untervektorraum erzeugen, gibt es 8/2 = 4 Untervektorräume der Dimension 1 in F_{3}^{2}, als wir da hätten ⟨(\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix})⟩, ⟨(\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix})⟩, ⟨(\begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix})⟩, ⟨(\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix})⟩.

(2) Wir suchen linear unabhängige Tupel der Länge 2 in F_{5}^{3}. Für den ersten Vektor haben wir 125−1 = 124 Möglichkeiten, da dieser Vektor beliebig ist, bis auf die Tatsache, daß er nicht gleich 0 sein sollte. Für den zweiten Vektor haben wir 125−5 = 120 Möglichkeiten, da dieser Vektor beliebig ist, bis auf die Tatsache, daß er nicht im Erzeugnis des ersten Vektors liegen sollte. Also gibt es 124·120 = 14880 linear unabhängige Tupel der Länge 2. In einem Untervektorraum der Dimension 2 wollen wir nun die Basen zählen. Für den ersten Basisvektor gibt es 25 − 1 = 24 Möglichkeiten, da dieser beliebig ist, bis auf den Nullvektor. Für den zweiten Basisvektor gibt es nun noch 25 − 5 = 20 Möglichkeiten, da dieser beliebig ist, bis auf die Tatsache, daß er nicht im Erzeugnis des ersten Vektors liegen sollte. Insgesamt gibt es 24 · 20 = 480 Basen in einem Untervektorraum der Dimension. Da je 480 Basen denselben Untervektorraum erzeugen, gibt es 14880/480 = 31 Untervektorräume der Dimension 2 in V.

(3) In F_{p}^{n} gibt es

∏_{k∈[0,d−1]}(p^{n} − p^{k})

linear unabhängige Tupel der Länge d. In der Tat gibt es für den ersten Vektor, der ja ungleich 0 sein sollte, p^{n} − 1 Wahlmöglichkeiten; für den zweiten, der nicht im eindimensionalen Erzeugnis des ersten liegen sollte, noch p^{n} − p Möglichkeiten; für den dritten, der nicht im zweidimensionalen Erzeugnis der ersten beiden liegen sollte, noch p^{n} − p^{2} Möglichkeiten; usf. In einem Untervektorraum der Dimension d von F_{p}^{n} gibt es

∏_{k∈[0,d−1]}(p^{d} − p^{k})

Basen. In der Tat gibt es für den ersten Vektor, der ungleich 0 sein sollte, p^{d} −1 Wahlmöglichkeiten; für den zweiten, der nicht im eindimensionalen Erzeugnis des ersten liegen sollte, noch p^{d} − p Möglichkeiten; für den dritten, der nicht im zweidimensionalen Erzeugnis der ersten beiden liegen sollte, noch p^{d} − p^{2} Möglichkeiten; usf. Da nun je ∏_{k∈[0,d−1]}(p^{d} − p^{k}) linear unabhängige Tupel denselben Untervektorraum erzeugen, gibt es

\frac{∏_{k∈[0,d−1]}(p^{n} − p^{k})}{∏_{k∈[0,d−1]}(p^{d} − p^{k})}

Untervektorräume der Dimension d in V.

Bemerkung (fakultativ). Manchmal schreibt man in Analogie zum Binomialkoeffizienten (\begin{matrix}n \\ d \end{matrix}), der die

Anzahl der d-elementigen Teilmenge einer n-elementigen Menge angibt, auch [\begin{matrix}n \\ d \end{matrix}] := \frac{∏_{k∈[0,d−1]}(p^{n}−p^{k})}{∏_{k∈[0,d−1]}(p^{d}−p^{k})} . Die resultierenden polynomialen (!) Funktionen in p heißen auch kurz Gaußpolynome.

Aufgabe 27.

(1) Die Aussage ist richtig.

⟹: Ist (x_{1}, …, x_{n}) ist eine Basis von V, so sind alle x_{i} ≠ 0. Ferner, jeder Vektor y ∈ V hat eine eindeutige Darstellung in der Form y = λ_{1}x_{1} + ⋯ λ_{n}x_{n} mit λ_{i} ∈ K. Also ist zunächst V = ⟨x_{1}⟩ + ⋯+⟨x_{n}⟩. Und gegeben zwei Darstellungen y = ∑_{j∈[1,n]} u_{j} = ∑_{j∈[1,n]} u′_{j} mit u_{j} ∈ ⟨x_{j}⟩, können wir u_{j} = λ_{j}x_{j} und u′_{j} = λ′_{j}x_{j} mit λ_{j}, λ′_{j} ∈ K schreiben. Damit ist y = ∑_{j∈[1,n]} λ_{j}x_{j} = ∑_{j∈[1,n]} λ′_{j}x_{j}, und es folgt, daß λ_{j} = λ′_{j} stets, und damit auch u_{j} = u′_{j} stets. Also V = ⟨x_{1}⟩ ⊕ ⋯ ⊕ ⟨x_{n}⟩. ⟸: Ist V = ⟨x_{1}⟩⊕⋯⊕⟨x_{n}⟩, so hat jeder Vektor y ∈ V eine eindeutige Darstellung y = ∑_{j∈[1,n]} u_{j} mit u_{j} ∈ ⟨x_{j}⟩. Damit hat y eine Darstellung der Form y = ∑_{j∈[1,n]} λ_{j}x_{j}, mit λ_{j} ∈ K. Bleibt zu zeigen, daß diese eindeutig ist. Sind zwei Darstellungen dieser Form gegeben, y = ∑_{j∈[1,n]} λ_{j}x_{j} = ∑_{j∈[1,n]} λ′_{j}x_{j}, dann folgt mit der Direktheit der Summe aus λ_{j}x_{j}, λ′_{j}x_{j} ∈ ⟨x_{j}⟩, daß λ_{j}x_{j} = λ′_{j}x_{j} stets. Da nun zusätzlich x_{j} ≠ 0, folgt daraus λ_{j} = λ′_{j} stets.

(2) Die Aussage ist falsch. Sei V = R^{2} über R, und seien U_{1} := ⟨(\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix})⟩, U_{2} := ⟨(\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix})⟩ und U_{3} := ⟨(\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix})⟩. Dann ist U_{1} ∩ U_{2} = 0 und U_{1} ∩ U_{3} = 0, aber es ist U_{1} ∩ (U_{2} + U_{3}) = U_{1} ≠ 0.

(3) Die Aussage ist falsch. Betrachte das Gegenbeispiel aus (2). Es gilt U_{1} ∩ U_{2} ∩ U_{3} = 0, aber es ist

(\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) = 0 · (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) + 0 · (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) + 1 · (\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) = 1 · (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) + 1 · (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) + 0 · (\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) ,

so dass die Summe nicht direkt ist.

(4) Die Aussage ist falsch. Betrachte erneut das Gegenbeispiel aus (2). Es gilt U_{1} ∩ U_{2} = 0, U_{1} ∩ U_{3} = 0 und U_{2} ∩ U_{3} = 0, aber die Summe ist nicht direkt (vgl. (3)).

(5) Die Aussage ist richtig. Es ist zu zeigen, dass jeder Vektor u ∈ U_{1} + U_{2} + U_{3} eine eindeutige Darstellung u = u_{1} + u_{2} + u_{3} mit u_{j} ∈ U_{j} besitzt. Seien zwei solche Darstellungen gegeben, u = u_{1} + u_{2} + u_{3} = u′_{1} + u′_{2} + u′_{3}, wobei u_{j}, u′_{j} ∈ U_{j}. Dann ist

u_{3} − u′_{3} = (u′_{1} + u′_{2}) − (u_{1} + u_{2}) ∈ U_{3} ∩ (U_{1} + U_{2}) = 0 ,

also u_{3} = u′_{3} und auch u_{1} + u_{2} = u′_{1} + u′_{2}. Nun folgt mit

u_{1} − u′_{1} = u′_{2} − u_{2} ∈ U_{1} ∩ U_{2} = 0

schließlich, daß u_{1} = u′_{1} und u_{2} = u′_{2}.