M. Künzer, J. Marhenke

Lineare Algebra für Informatiker, WS 03/04

Lösung Zusatz

Mit

S = (\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 3 & −1 & 2i & −1 & −2i \\ −1 & −2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & −i & −1 & i & −1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1−i & −1−2i & 1+i & −1+2i \\ −1 & −3 & −1 & 0 & −1−i & 1+2i & −1+i & 1−2i \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1−i & 1 & 1+i & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & i & 1 & −i & 1 \\ −3 & −7 & 2 & 0 & 1+i & 1 & 1−i & 1 \end{matrix} )

wird

J := S^{−1}AS = ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & i & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −i & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & −i \end{matrix} )

Der Eintrag von A^{m} an Position (1, 1) berechnet sich über A^{m} = SJ^{m}S^{−1} und beträgt

2^{m}(m − 1) + \frac{1}{2} · \{ \begin{matrix}m + 4 & für m ≡_{4} 0 \\ m + 1 & für m ≡_{4} 1 \\ −(m + 4) & für m ≡_{4} 2 \\ −(m + 1) & für m ≡_{4} 3 \end{matrix} .