M. Künzer, J. Marhenke

Lösung Zusatz 2

(1) Mit

U = \frac{1}{\sqrt{30}} (\begin{matrix}\sqrt{5} & −2 & \sqrt{3} & 0 & −3\sqrt{2} \\ −2\sqrt{5} & −1 & 0 & 1 & −2\sqrt{2} \\ \sqrt{5} & −4 & −\sqrt{3} & 2 & −\sqrt{2} \\ 0 & 3 & −2\sqrt{3} & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\sqrt{3} & 4 & \sqrt{2} \end{matrix}) ∈ U_{5}(C)

wird Ū^{t}AU = diag(0, 0, 0, 10, −5) =: D.

(2) Mit D̃ := diag(0, 0, 0, \sqrt{10}, i\sqrt{5}) wird wie im Hinweis

B = UD̃Ū^{t} = \frac{1}{3\sqrt{10}}(\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 0 & 3 & 6 & 9 & 12 \\ 0 & 4 & 8 & 12 & 16 \end{matrix}) + \frac{i}{3\sqrt{5}}(\begin{matrix}9 & 6 & 3 & 0 & −3 \\ 6 & 4 & 2 & 0 & −2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −3 & −2 & −1 & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ C^{5×5} ,

und in der Tat ist B^{2} = A. Da B zu einer Diagonalmatrix unitär konjugiert ist, ist B normal.

(3) Nein, 1 kann nicht der einzige Eigenwert von V sein. Denn wäre dem so, so wäre V, da diagonalisierbar, bereits gleich E, und also U bereits diagonal. Das hätte aber wegen A = UDŪ^{t} auch A diagonal zur Folge, was nicht der Fall ist.

www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/kuenzer/WS03