The Design of a

Fuzzy - Shewhart Control Chart

Jörg Höppner & Hans Wolff

Abteilung Stochastik Universität Ulm Ulm, Germany

März 1995

1 Introduction

In this paper we suggest a design for a control chart in the case of vague data. Such data may arise in form of linguistic data or by imprecise measurements, which all can modelled by fuzzy - sets. We consider fuzzy - sets as real valued interpretations of vague data. We leave the traditional approach that we are always able to assign exactly one real number (ore p-dimensional vectors) to the outcome of our experiment. Indeed, if we have to meet uncertainty and vagueness in describing our observations, we should replace the classical dichotomous judgements (we observe ”x”, x ∈ IR) by introducing fuzzy - sets, which themselves can be described by membership functions. For quality purposes, such an approach is described in more detail e.g. in Laviolette et al. [14].

Our starting point is based on the pioneering work of L.A.Zadeh [26, 27] on fuzzy - sets and his extension principle as well as on the concept of a fuzzy random variable introduced by Kwakernaak [11]. The generalization of traditional control charts to the ”fuzzy case” will be studied in this paper for the simple Shewhart chart. The statistics involved in Shewhart chart techniques are the mean and the variance of a random sample. Therefore, we need a generalization of such statistics for fuzzy random samples. The corresponding statistics can be found e.g. in the excellent book of R.Kruse and K.D.Meyer [10], which gives a thorough discussion of statistical methods for fuzzy - data.

Even for Shewhart charts, we will see that in case of fuzzy - data the stopping rule will not be as simple as in the traditional case. Simultaneous test problems arise implying e.g. difficulties for an exact evaluation of the operating characteristic function or the average run length.

2 Fuzzy - sets and some properties

In this section, we want to describe the concept of fuzzy - sets based on the work of L.A.Zadeh [26, 27]. We give the most important tools of fuzzy - sets needed for the construction of the fuzzy - Shewhart control chart.

Definition 2.1 :

(i) A fuzzy - set of the real line IR is characterized by its membership function μ, where :

μ : IR ⟶ [0, 1] .

We denote by E( IR ) the class of all fuzzy - sets of IR .

(ii) A fuzzy - set μ ∈ E( IR ) of the real line is called normal , if

∃ t ∈ IR : μ ( t) = 1 .

We denote by F ( IR ) the class of all normal fuzzy - sets of IR .

Example 2.2 :

(i) The characteristic function yields a simple fuzzy - set. Let A ⊆ IR be a non-empty subset of IR . Then it holds :

I_{A} ( t) := \{ \begin{matrix}1 & , if & t ∈ A \\ 0 & , if & t ∈ IR\A \end{matrix}

is a normal fuzzy - set.

(ii) μ ( t) := max { 1 − ( t − 2 )^{2} , 0 } is a normal fuzzy - set.

Important tools for dealing with fuzzy - sets are their α-level-sets and their strong α-cuts, which were discussed by C.V.Negoita and D.A.Ralescu [19].

Definition 2.3 :

Let μ ∈ F ( IR ) , α ∈ [0, 1] .

Then define :

(i) μ\overline{α} := \{ t ∈ IR | μ ( t) ≥ α \} as α-level-set.

(ii) μ_{α} := { t ∈ IR | μ ( t) > α } as strong α-cut.

M.Miakoshi and M.Shimbo [15] discussed the concept of set representations of fuzzy - sets. This leads to a generalization of the α-level-set and the strong α-cut defined by C.V.Negoita and D.A.Ralescu.

Definition 2.4 :

Let μ ∈ F ( IR ).

{ A_{α} | α ∈ (0, 1) } is called a set representation of μ if and only if (i) 0 ≤ α ≤ β < 1 ⟹ A_{β} ⊆ A_{α} ⊆ IR .

(ii) For all t ∈ IR : μ ( t) = sup { α I_{A_{α}} ( t) | α ∈ (0, 1) } , where I_{A_{α}} ( t) denotes the characteristic function of A_{α}.

The strong α-cut respectively the α-level-set are the ”smallest”, respectively the ”biggest”, set representation in the sense of M.Miakoshi and M.Shimbo. We remark that \{ μ\overline{α} | α ∈ (0, 1) \} and \{ μ_{α} | α ∈ (0, 1) \} are both set representations of the fuzzy - set μ. Necessary and sufficient conditions that { A_{α} | α ∈ (0, 1) } is a set representation of a fuzzy - set μ are given in the following theorem (M.Miyakoshi and M.Shimbo [15]), which is very useful for proofs.

Theorem 2.5 :

Let μ ∈ F ( IR ) and { A_{α} | α ∈ (0, 1) } be a system of subsets of IR . Then it holds :

{ A_{α} | α ∈ (0, 1) } is a set representation of μ if and only if

μ_{α} ⊆ A_{α} ⊆ μ\overline{α} holds for all α ∈ (0, 1) .

Now, we give an example of a fuzzy - set and the way how to get the set representation for a given fuzzy - set.

Example 2.6 :

Let μ ( t) := max { 1 − ( t − 2 )^{2} , 0 } be a fuzzy - set. Then, we have :

μ_{α} = { t ∈ IR | μ ( t) > α }
= \{ t ∈ IR | 2 − \sqrt{1 − α} < t < 2 + \sqrt{1 − α} \}
⟹ μ_{α} = ( 2 − \sqrt{1 − α} , 2 < + \sqrt{1 − α}) .

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μ\overline{α} = [ 2 − \sqrt{1 − α} , 2 + \sqrt{1 − α}] .

The corresponding graphical representation is given below :

[figure: 0 0.25 0.50 0.75 1.00; _{1  2  3  4}; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; α; t]

The extension priciple of L.A.Zadeh offers a powerful tool for generalizing classical mathematical concepts to the fuzzy case.

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Φ[ μ_{1} , …, μ_{n}] (t) := sup \{min \{ μ_{1} (t_{1}) , …, μ_{n} (t_{n}) \} | \begin{matrix}( t_{1} , …, t_{n}) ∈ IR^{n} , \\ Φ( t_{1} , …, t_{n}) = t \end{matrix} \}

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Example 2.8 :

μ (t) = \{ \begin{matrix}t − 1 & , if 1 ≤ t ≤ 2 \\ 3 − t & , if 2 < t ≤ 3 \\ 0 & , otherwise. \end{matrix}

[figure: 0 0.25 0.50 0.75 1.00; _{1  2  3  4  5}; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; α; t]

Let Φ (t) := 2 t .

⟹ Φ[ μ](t) = sup \{μ (v) | v ∈ IR , 2v = t\} = sup \{μ (v) | v ∈ IR , v = \frac{t}{2}\} = sup \{μ (\frac{t}{2}) | t ∈ IR \} = μ ( \frac{t}{2} ) .

[figure: 0 0.25 0.50 0.75 1.00; _{1  2  3  4  5  6  7}; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; α; t]

The addition of fuzzy - sets and the multiplication of a fuzzy - set by a scalar can be done easier by using only strong α-cuts or α-level-sets, respectively.

Definition 2.9 :

Let A , B ⊆ IR be non-empty sets and λ ∈ IR.

Then, the Minkowski operations are defined by

\begin{aligned}(i) & A + B & := & \{ x + y | x ∈ A , y ∈ B \} , \\ (ii) & λ · A & := & \{ λ · x | x ∈ A \} . \end{aligned}

For the design of the fuzzy - Shewhart control chart we want to work with a smaller class of fuzzy - sets than the class of normal fuzzy - sets F ( IR ) . This leads to the class of convex fuzzy - sets. The motivation for dealing with this smaller class is e.g. also given by the importance of this class for application purposes.

Definition 2.10 :

(i) The class of all fuzzy - sets with a normal set representation is denoted by Q( IR ) . It holds μ ∈ Q( IR ) if and only if there is a set representation { A_{α} | α ∈ (0, 1) } of μ such that

(a) inf A_{α} > −∞ implies inf A_{α} ∈ A_{α} .

(b) sup A_{α} < ∞ implies sup A_{α} ∈ A_{α} .

(c) If inf A_{α} = −∞ or sup A_{α} = ∞ then for all α ∈ (0, 1) A_{α} is convex.

(ii) The class of all convex fuzzy - sets is denoted by U( IR ) .

It holds μ ∈ U( IR ) if and only if

(a) μ ∈ F ( IR ) ,

(b) there exist a set representation { A_{α} | α ∈ (0, 1) } of μ with A_{α} is convex and closed for all α ∈ (0, 1) .

(iii) The class of all bounded convex fuzzy - sets is denoted by U_{c}( IR ) .

It holds μ ∈ U_{c}( IR ) if and only if

(a) μ ∈ U( IR ) ,

(b) inf μ_{0} > − ∞ and sup μ_{0} < + ∞.

The class of convex fuzzy - sets has nice properties, which makes the work much easier (see e.g. R.Kruse and K.D.Meyer [10]).

Theorem 2.11 :

Let n ∈ IN , ( λ_{1} , …, λ_{n}) ∈ IR^{n} and α ∈ (0, 1) .

(i) If ( μ_{1} , …, μ_{n}) ∈ [ U( IR ) ]^{n} , then :

(a) ∑_{i=1}^{n} λ_{i} μ_{i} ∈ U( IR ) .

(b) ( ∑_{i=1}^{n} λ_{i} μ_{i} )_{α} = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} (μ_{i})_{α} .

(ii) If ( μ_{1} , …, μ_{n}) ∈ [ U_{c}( IR ) ]^{n} , then :

(a) ∑_{i=1}^{n} λ_{i} μ_{i} ∈ U_{c}( IR ) .

(b) ( ∑_{i=1}^{n} λ_{i} μ_{i} )\overline{α} = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} (μ_{i})\overline{α} .

3 The fuzzy random variable

The theory of fuzzy random variables is based on two different types of uncertainty, namely vagueness and randomness. Fuzzy random variables were discussed e.g. by H.Kwakernaak [11].

Let ( Ω , Σ , P ) be a probability space. On this probability space we will define a random mechanism. For many applications, we have the situation that our randomness will be aditionally disturbed by errors of measurement, genetic differences, etc. These effects are not fuzzy effects. Therefore, we need a second probability space ( Ω′ , Σ′ , P′) in order to describe these external effects. For the probability space ( Ω′ , Σ′ , P′) , we assume :

For all λ ∈ [0, 1] there exist A′ ∈ Σ′ with P′ ( A′) = λ.

The random mechanism of the fuzzy random variable depends on the product space of both probability spaces (compare e.g. E.Henze [5]), separating the random mechanism from the above described disturbances. The probability space is defined by :

( Ω̃ , Σ̃ , P̃) = ( Ω × Ω′ , Σ ⊗ Σ′ , P ⊗ P′) .

Now, the whole random mechanism under consideration can be be described by an usual random variable on the probability space ( Ω̃ , Σ̃ , P̃) . Hence, an interpretation of a fuzzy random variable may be given as follows : ”A fuzzy random variable (f.r.v.) is a (fuzzy) perception of an unknown, usual random variable.”

We call the possible random variables of this random experiment the originals of the fuzzy random variable. The vagueness of the observation can be described by a fuzzy - set. The fuzzy random variable depends on the first probability space ( Ω , Σ , P ) and is independent of the second one ( Ω′ , Σ′ , P′) , on the other hand we can’t observe the disturbance directly. The possible originals of the f.r.v. are dependend of both probability spaces and therefore of the product space ( Ω̃ , Σ̃ , P̃) .

Now, we are led to the following definition of a f.r.v. (compare e.g. H.Kwakernaak [11]) :

Definition 3.1 :

A mapping X : Ω ⟶ Q( IR ) is called a fuzzy random variable (f.r.v.), if there is a system { A_{α} ( ω)| ω ∈ Ω , α ∈ (0, 1) } of subsets of IR with the following properties :

(i) { A_{α} ( ω)| α ∈ (0, 1) } is a normal set representation of X_{ω} := X (ω) for all ω ∈ Ω .

(ii) The mappings \underline{A}_{α} : Ω → IR and \overline{A}_{α} : Ω → IR are Σ-B_{1}-measurable for all α ∈ (0, 1) , where \underline{A}_{α} ( ω) := inf A_{α} ( ω) and \overline{A}_{α} ( ω) := sup A_{α} ( ω) .

For the following analysis, we have to make a few assumptions :

Assumption 3.2 :

(i) We restrict the definition of a f.r.v. to the class of convex fuzzy sets, i.e. a f.r.v. X is a map

X : Ω ⟶ U( IR ) respectively U_{c}( IR ) .

(ii) The possible originals with respect to the random experiment are unknown, but we assume that the originals U are normally distributed :

U ∼ N ( μ_{0} , σ_{0}^{2} ) , μ_{0} ∈ IR , σ_{0}^{2} > 0 .

Therefore, the set χ̃ of all possible originals is given by all usual normally distributed random variables on ( Ω̃ , Σ̃ , P̃) .

With regard to assumption (i) it has been shown e.g. R.Kruse and K.D.Meyer [10] that we will get the same results using either the set χ̃ or χ. The set χ is given by all normally distributed random variables on ( Ω , Σ , P ) . Therefore, we restrict the following considerations to the easier case, where X : Ω ⟶ U( IR ) is a f.r.v., and U : Ω ⟶ IR is a possible original from the set χ. Then, by definition of the fuzzy logic the acceptability of the vague statement ”U is original of X” can be calculated by :

μ_{X} ( U ) = inf { X_{ω} ( U ( ω) ) | ω ∈ Ω }.

4 The expectation of a fuzzy random variable

For the design of a control chart within the framework of quality control with fuzzy data, we do need the expectation and the variance of a f.r.v. R.Kruse and K.D.Meyer [10] developed a concept for calculating these quantities. Again, this concept is based on the extension principle of Zadeh. The expectation and the variance of a f.r.v. are fuzzy - sets.

Definition 4.1 :

Let ( Ω , Σ , P ) be a probability space, X : Ω ⟶ U( IR ) be a f.r.v. and t ∈ IR :

(i) E : χ ⟶ U( IR ) with

( E X) (t) := sup \{ inf_{ω∈Ω} μ_{X(ω)}(U(ω)) | \begin{matrix}U ∈ χ, \\ E |U^{k}| < ∞ , \\ E U^{k} = t \end{matrix} \}

is called the expectation of X with respect to χ

(ii) Var : χ ⟶ U( IR ) with

( Var X) (t) := sup \{ inf_{ω∈Ω} μ_{X(ω)}(U(ω)) | \begin{matrix}U ∈ χ, \\ Var |U| < ∞ , \\ Var U = t \end{matrix} \}

is called the variance of X with respect to χ.

These definitions seem to be too complicated for calculations. But set representation leads to a feasible method for computing the expectation.

Theorem 4.2 :

Let X : Ω ⟶ U( IR ) be a f.r.v. such that E |\underline{Y}_{0} | < ∞ , E |\overline{Y}_{0} | < ∞ , and define for ω ∈ Ω and α ∈ [0, 1) :

(\underline{Y})_{α} ( ω) := inf (X ( ω))_{α} , (\overline{Y})_{α} ( ω) := sup (X ( ω))_{α}

Then it holds :

\{ [E \underline{Y}_{α} , E \overline{Y}_{α}] | α ∈ (0, 1) \} is a set representation of E X.

The following remark gives us a possibility for computing the expectation of any linear combinations of f.r.v.’s.

Remark 4.3 :

Let λ ∈ IR , X_{1} , X_{2} , X : Ω ⟶ U( IR ) be f.r.v.’s , then it holds :

\begin{aligned}E (X_{1} + X_{2}) & = & E (X_{1}) + E (X_{2}) , \\ E (λX) & = & λ E X . \end{aligned}

5 The statistics X̄ and S

In this section, we want to discuss two of the most important statistics of a fuzzy random sample. Both are basic tools for constructing the fuzzy - Shewhart control chart.

Definition 5.1 :

Let ( X_{1} , …, X_{n}) : Ω ⟶ [ U( IR ) ]^{n} .

( X_{1} , …, X_{n}) is called a fuzzy random sample if the fuzzy sample variables X_{i} are i.i.d. for i ∈ { 1 , …, n } .

Definition 5.2 :

(i) Let ( X_{1} , …, X_{m}) be a fuzzy random sample

\begin{aligned}(a) & \overline{X} & := & \frac{1}{m} ∑_{j=1}^{m} X_{j} , \\ (b) & \overline{S}^{2} & := & \frac{1}{m−1} ∑_{j=1}^{m} ( X_{j} − \overline{X})^{2} . \end{aligned}

(ii) Let ( X_{i1} , …, X_{im}) be a fuzzy random sample for i ∈ { 1 , …, n }

\begin{aligned}(a) & \overline{\overline{X}} & := & \frac{1}{mn} ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} X_{ij} , \\ (b) & \overline{S_{i}}^{2} & := & \frac{1}{m−1} ∑_{j=1}^{m} ( X_{ij} − \overline{X}_{i})^{2} , \\ (c) & \overline{S} & := & \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} \overline{S}_{i} . \end{aligned}

Again, these statistics are fuzzy - sets. Since we want to use these statistics as estimators for the moments of the f.r.v.’s, we have to discuss these statistics. In the following remark, we first discribe the corresponding α-level-sets.

Remark 5.3 : Let α ∈ (0, 1) and \overline{X} , \overline{S}^{2} , \overline{\overline{X}} , \overline{S_{i}}^{2} , \overline{S} defined as in (5.2). Then it holds :

(i) \overline{X}_{α}  = \{ t ∈ IR | \begin{matrix}∃ ( t_{1} , …, t_{m}) ∈ (X_{1})_{α} × … × (X_{m})_{α} \\ such that \frac{1}{m} ∑_{j=1}^{m} t_{j} = t \end{matrix} \} ,
(ii) \overline{S}_{α}^{2}  = \{ t ∈ IR | \begin{matrix}∃ ( t_{1} , …, t_{m}) ∈ (X_{1})_{α} × … × (X_{m})_{α} \\ such that \frac{1}{m−1} ∑_{j=1}^{m} ( t_{j} − \overline{t})^{2} = t \end{matrix} \} ,
(iii) \overline{\overline{X}}_{α}  = \{ t ∈ IR | \begin{matrix}∃ ( t_{11} , …, t_{nm}) ∈ (X_{11})_{α} × … × (X_{nm})_{α} \\ such that \frac{1}{mn} ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{m} t_{ij} = t \end{matrix} \} ,
(iv) ( \overline{S_{i}}^{2} )_{α} = \{ t ∈ IR | \begin{matrix}∃ ( t_{i1} , …, t_{im}) ∈ (X_{i1})_{α} × … × (X_{im})_{α} \\ such that \frac{1}{m−1} ∑_{j=1}^{m} ( t_{ij} − \overline{t}_{i})^{2} = t \end{matrix} \} ,
(v) \overline{S}_{α}  = \{ t ∈ IR | \begin{matrix}∃ ( t_{1} , …, t_{n}) ∈ (S_{1})_{α} × … × (S_{n})_{α} \\ such that \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} t_{i} = t \end{matrix} \} .

Proof : Applying the extension principle of Zadeh, at once, we will get these results. For the following analysis, we do need the infimum and the supremum of these fuzzy - sets. Lemma 5.4 : Let \overline{X} und \overline{S} be defined as (5.2). Then it holds :

(i) inf \overline{X}_{α} = \frac{1}{m} ∑_{j=1}^{m} inf(X_{j})_{α} , sup \overline{X}_{α} = \frac{1}{m} ∑_{j=1}^{m} sup(X_{j})_{α} ,
(ii) inf \overline{S}_{α} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} inf(S_{i})_{α} , sup \overline{S}_{α} = \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} sup(S_{i})_{α} .

Proof : Again, the extension principle of Zadeh and Theorem 2.11 implies :

inf \overline{X}_{α} = inf ( \frac{1}{m} ∑_{j=1}^{m} X_{j} )_{α}
= inf \frac{1}{m} ∑_{j=1}^{m} (X_{j})_{α}
= \frac{1}{m} ∑_{j=1}^{m} inf(X_{j})_{α}  □

The other assertions can be shown analogously. Next, we define some entities, which will be needed for determing the control limits (case of unknown variance). Definition 5.5 : Let ( X_{i1} , …, X_{im}) ∈ [ U( IR ) ]^{m} , i ∈ \{ 1 , …, n \} , and \overline{S}_{i}^{2} as in Definition 5.2 (ii) . Define :

(i) ( (\overline{S}_{i}^{2})_{inf} )_{α} := \frac{1}{m−1} ∑_{j=1}^{m} ( inf (X_{ij})_{α} − inf (\overline{X_{i}})_{α})^{2} ,
(ii) ( (\overline{S}_{i}^{2})_{sup} )_{α} := \frac{1}{m−1} ∑_{j=1}^{m} ( sup (X_{ij})_{α} − sup (\overline{X_{i}})_{α})^{2} ,
(iii) ( (\overline{S})_{inf} )_{α} := \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} ( (\overline{S}_{i})_{inf} )_{α} .

Let us consider the usual random variables inf ( \overline{X})_{α}, sup ( \overline{X})_{α}, ( (\overline{S}_{i}^{2})_{inf} )_{α} , and ( (\overline{S}_{i}^{2})_{sup} )_{α}. Lemma 5.6 : Let ( X_{1} , …, X_{m}) : Ω ⟶ [ U( IR ) ]^{m} be an i.i.d. sequence of f.r.v. with : E X_{j} = μ , Var X_{j} = σ^{2} forall j ∈ { 1 , …, m }, where μ , σ^{2} ∈ U_{c}( IR ) . Define for j ∈ { 1 , …, m } , ω ∈ Ω , α ∈ [0, 1) :

(\underline{Y_{j}})_{α} ( ω) := inf ( (X_{j})_{ω})_{α} , (\overline{Y_{j}})_{α} ( ω) := sup ( (X_{j})_{ω})_{α} Then it holds :

(i) E ( inf ( \overline{X})_{α}) = E ( \underline{Y}_{1} )_{α}  = inf μ_{α} ,
(ii) E ( sup ( \overline{X})_{α}) = E ( \overline{Y}_{1} )_{α}  = sup μ_{α} ,
(iii) Var ( inf ( \overline{X})_{α}) = \frac{1}{m} Var ( \underline{Y}_{1} )_{α} ,
(iv) Var ( sup ( \overline{X})_{α}) = \frac{1}{m} Var ( \overline{Y}_{1} )_{α} .

Remark 5.7 : Let us remark :

(i) Var ( \underline{Y}_{1} )_{α} ≥ inf σ_{α}^{2} ,
(ii) Var ( \overline{Y}_{1} )_{α} ≤ sup σ_{α}^{2} ,

where in general, equality does not hold (see R.Kruse and K.D.Meyer [10]) . Remark 5.8 : In Lemma 5.6, we are allowed to replace \overline{X} and m by \overline{\overline{X}} and nm, respectively. Lemma 5.9 : Let ( X_{11} , …, X_{nm}) : Ω ⟶ [ U( IR ) ]^{nm} be a i.i.d. - sequence of f.r.v.’s with E X_{ij} = μ , Var X_{ij} = σ^{2} for all i ∈ { 1 , …, n } , j ∈ { 1 , …, m } where μ , σ^{2} ∈ U_{c}( IR ) . Define for i ∈ { 1 , …, n } , j ∈ { 1 , …, m } , ω ∈ Ω , α ∈ [0, 1) : (\underline{Y_{ij}})_{α} ( ω) := inf ( (X_{ij})_{ω})_{α} , (\overline{Y_{ij}})_{α} ( ω) := sup ( (X_{ij})_{ω})_{α} , and let γ_{m} := \sqrt{\frac{2}{m − 1}} · \frac{Γ(\frac{m}{2} )}{Γ( \frac{m − 1}{2} )} . Then it holds :

(i) E ( (\overline{S}_{i}^{2})_{inf} )_{α} = Var ( \underline{Y}_{11} )_{α} ,
(ii) E ( (\overline{S}_{i}^{2})_{sup} )_{α} = Var ( \overline{Y}_{11} )_{α} ,
(iii) E ( \overline{S}_{inf} )_{α}  = γ_{m} · \sqrt{Var ( \underline{Y}_{11} )_{α}} ,
(iv) E ( \overline{S}_{sup} )_{α}  = γ_{m} · \sqrt{Var ( \overline{Y}_{11} )_{α}} .

Proof :

X_{11} , ⋯, X_{1m} , ⋯, X_{n1} , ⋯, X_{nm} i.i.d. f.r.v.
⟹ \underline{Y}_{11} , ⋯, \underline{Y}_{1m} , ⋯, \underline{Y}_{n1} , ⋯, \underline{Y}_{nm} i.i.d.
\overline{Y}_{11} , ⋯, \overline{Y}_{1m} , ⋯, \overline{Y}_{n1} , ⋯, \overline{Y}_{nm} i.i.d.

(i)

E ( ( (\overline{S}_{i}^{2})_{inf} )_{α}) = E ( \frac{1}{m−1} ∑_{j=1}^{m} ( inf (X_{ij})_{α} − inf (\overline{X_{i}})_{α})^{2} )
= E ( \frac{1}{m−1} ∑_{j=1}^{m} ( ( \underline{Y}_{ij})_{α} − \frac{1}{m} ∑_{j=1}^{m}( \underline{Y}_{ij})_{α} )^{2} )
= Var ( \underline{Y}_{11} )_{α}  □

(ii) analogous. (iii)

E ( \overline{S}_{inf} )_{α} = E (\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} ( ( S_{i})_{inf} )_{α})
= \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} E ( ( S_{i})_{inf} )_{α}
= \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} γ_{m} · \sqrt{Var ( \overline{Y}_{11} )_{α}}
= γ_{m} · \sqrt{Var ( \overline{Y}_{11} )_{α}}  □

(iv) analogous.

Lemma 5.9 implies the following unbiased estimator of the standard deviation of the usual random variables \underline{Y}_{11} , ⋯, \underline{Y}_{nm}.

The statistics

(i) \overline{\overline{S}} := \frac{\overline{S}}{γ_{m}} ,
(ii) \overline{\overline{S}}_{inf} := \frac{\overline{S}_{inf}}{γ_{m}} ,

(iii) \overline{\overline{S}}_{sup} := \frac{\overline{S}_{sup}}{γ_{m}} .

are unbiased estimators of the standard deviation.

Now, all relevant statistics for the design of a fuzzy - Shewhart control chart are provided. First, we want to give the control limits. The question arises how to choose the control limits. In the classical situation, assuming normally distributed random variables U_{i} , i ∈ { 1 , …, n }.

We obtain the upper and lower control limits UCL and LCL, respectively :

UCL : IR^{2} ⟶ IR with UCL (E U , \sqrt{Var U} ) = E U + \frac{z_{1− \frac{δ}{2}}}{\sqrt{m}} \sqrt{Var U}

and

LCL : IR^{2} ⟶ IR with LCL (E U , \sqrt{Var U} ) = E U − \frac{z_{1− \frac{δ}{2}}}{\sqrt{m}} \sqrt{Var U} ,

where z_{1− \frac{δ}{2}} denotes the (1 − \frac{δ}{2}) - quantile of the standard normal distribution. Now these usual variables should be extended to fuzzy variables by applying the extension principle of Zadeh.

Theorem 5.11 :

Let LCL (. , .) and UCL (. , .) are control limits of the usual Shewhart chart,

LCL : IR^{2}  ⟶ IR
(t_{1} , t_{2}) ⟶ t_{1} − \frac{z_{1−δ_{1}}}{\sqrt{m}} t_{2} ,
UCL : IR^{2}  ⟶ IR
(t_{1} , t_{2}) ⟶ t_{1} + \frac{z_{1−δ_{1}}}{\sqrt{m}} t_{2} ,

δ_{1} , δ_{2} ∈ (0, 1) such that δ_{1} + δ_{2} = δ . Let m ∈ IN be the sample size and define for (μ_{1} , μ_{2}) ∈ [ F ( IR ) ]^{2} , α ∈ [0, 1) , t ∈ IR :

LCL_{α} [ μ_{1} , μ_{2} ] := inf \{ u ∈ IR | \begin{matrix}∃ (t_{1} , t_{2}) ∈ (μ_{1})_{α} × (μ_{2})_{α} \\ with LCL (t_{1} , t_{2}) ≤ u \end{matrix} \}

UCL_{α} [ μ_{1} , μ_{2} ] := sup \{ u ∈ IR | \begin{matrix}∃ (t_{1} , t_{2}) ∈ (μ_{1})_{α} × (μ_{2})_{α} \\ with UCL (t_{1} , t_{2}) ≥ u \end{matrix} \}

E_{α} [μ_{1} , μ_{2}] :=

[ LCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] , UCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] ] , if LCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] > −∞ ,
UCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] < +∞ ,
( −∞ , UCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] ]  , if LCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] = −∞ ,
UCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] < +∞ ,
[ LCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] , +∞)  , if LCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] > −∞ ,
UCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] = +∞ ,
IR  , if LCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] = −∞ ,
UCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] = +∞ ,

K [μ_{1} , μ_{2}] (t) := sup { αI_{E_{α} [μ_{1} , μ_{2}]} (t) | α ∈ (0, 1) }. Then it holds :

K : [ F ( IR ) ]^{2} ⟶ U( IR ) is a convex fuzzy - set and { E_{α} [μ_{1} , μ_{2}] | α ∈ (0, 1) } is a set representation of K [μ_{1} , μ_{2}] .

Proof :

1. Let (μ_{1} , μ_{2}) ∈ [ F ( IR ) ]^{2} . Obviously, we get for 0 ≤ α ≤ β < 1 :

LCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] ≤ LCL_{β} [μ_{1} , μ_{2}]
≤ UCL_{β} [μ_{1} , μ_{2}]
≤ UCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] .

Because the intersection of a non-increasing sequence of closed non-empty sets is not empty, i.e. ⋂_{α∈(0,1)} E_{α} [μ_{1} , μ_{2}] ≠ ∅ , it holds : K [μ_{1} , μ_{2}] ∈ F ( IR ) . Taking into account that { E_{α} [μ_{1} , μ_{2}] | α ∈ (0, 1) } is a set representation of K [μ_{1} , μ_{2}] , it follows : K [μ_{1} , μ_{2}] ∈ U( IR ) .

2. Let (μ_{1} , μ_{2}) ∈ [ F ( IR ) ]^{2} , α ∈ [0, 1) . We want to show that

(I) inf ( K [μ_{1} , μ_{2}] )_{α} = LCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] ,
(II) sup( K [μ_{1} , μ_{2}] )_{α} = UCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] .

Let α_{r} := α + \frac{1}{2r} (1 − α) .

Then it holds :

{ LCL_{α_{r}} [μ_{1} , μ_{2}] }_{r∈IN} ↘ inf ( K [μ_{1} , μ_{2}] )_{α} ,
{ UCL_{α_{r}} [μ_{1} , μ_{2}] }_{r∈IN} ↗ sup( K [μ_{1} , μ_{2}] )_{α} .

(I) Let ψ_{α} := LCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] ≤ LCL_{α_{r}} [μ_{1} , μ_{2}] , r ∈ IN .

Choose R ∈ IN and ( t_{1}^{(R)} , t_{2}^{(R)} ) ∈ (μ_{1})_{α} × (μ_{2})_{α} such that

LCL ( t_{1}^{(R)} , t_{2}^{(R)} ) ≤ −R  , if ψ_{α} = −∞ ,
LCL ( t_{1}^{(R)} , t_{2}^{(R)} ) ≤ ψ_{α} + \frac{1}{R} , if ψ_{α} > −∞ .

Because it exists an integer s = s(R) with (t_{1}^{(R)}, t_{2}^{(R)}) ∈ (μ_{1})_{α_{s}} ×(μ_{2})_{α_{s}}, it holds :

lim_{r⟶∞} LCL_{α_{r}} [μ_{1} , μ_{2}] ≤ LCL_{α_{s}} [μ_{1} , μ_{2}]
≤ LCL ( t_{1}^{(R)} , t_{2}^{(R)} )
⟹ lim_{r⟶∞} LCL_{α_{r}} [μ_{1} , μ_{2}] ≤ ψ_{α}
⟹ ψ_{α}  = lim_{r⟶∞} LCL_{α_{r}} [μ_{1} , μ_{2}]
= inf ( K [μ_{1} , μ_{2}] )_{α}  □

(II) analogous.

If we restrict ourselves to the case μ_{1} , μ_{2} ∈ U_{c}( IR ) , we are led to E_{α} [μ_{1} , μ_{2}] = [ LCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] , UCL_{α} [μ_{1} , μ_{2}] ].

By these results we are able to derive control limits for the fuzzy - Shewhart control chart. We assume that the expectation μ_{0} ∈ U_{c}( IR ) and the variance σ_{0}^{2} ∈ U_{c}( IR ) are known.

Lemma 5.13 :

Let μ_{0} , σ_{o}^{2} ∈ U_{c}( IR ) , X : Ω ⟶ U( IR ) be a f.r.v. with normally distributed originals and E X = μ_{0} , Var X = σ_{0}^{2} . Let m be the sample size, α ∈ [0, 1) , δ ∈ (0, 1) ; z_{1−δ} may denote the (1 − δ)- quantile of the standard normal distribution. Furthermore, choose δ_{1} , δ_{2} ∈ (0, 1) such that δ_{1} + δ_{2} = δ .

Then it holds :

LCL_{α} [μ_{0} , σ_{0}] = inf ( μ_{0} )_{α} − \frac{z_{1−δ_{1}}}{\sqrt{m}} sup(σ_{0})_{α} ,
UCL_{α} [μ_{0} , σ_{0}] = sup( μ_{0} )_{α} + \frac{z_{1−δ_{2}}}{\sqrt{m}} sup(σ_{0})_{α} .

Proof :

Choose u ∈ IR such that t_{1} ∈ (μ_{0})_{α} and t_{2} ∈ (σ_{0})_{α} implies LCL (t_{1} , t_{2}) = t_{1} − \frac{z_{1−δ_{2}}}{\sqrt{m}} t_{2} ≤ u .

Obviously, it holds :

t_{1} ≥ inf (μ_{0})_{α} , t_{2} ≤ sup(μ_{0})_{α} ,

and therefore :

inf (μ_{0})_{α} − \frac{z_{1−δ_{2}}}{\sqrt{m}} sup(μ_{0})_{α} ≤ LCL (t_{1} , t_{2}) ≤ u

⟹ LCL_{α} [μ_{0} , σ_{0}] ≥ inf (μ_{0})_{α} − \frac{z_{1−δ_{2}}}{\sqrt{m}} sup(μ_{0})_{α} .

Similarly, we show

UCL_{α} [μ_{0} , σ_{0}] ≤ sup(μ_{0})_{α} + \frac{z_{1−δ_{2}}}{\sqrt{m}} sup(μ_{0})_{α} □

If there is at least one of the parameters μ_{0} and σ_{0} unknown, as in the classical situation, then we can get corresponding fuzzy - Shewhart control charts by replacing these parameters by their estimates, which are discussed in section 4. The different cases are treated in the following Lemma.

Lemma 5.14 :

The control limits for the fuzzy - Shewhart control chart are given by :

(i) μ_{0} and σ_{o}^{2} known, μ_{0} , σ_{o}^{2} ∈ U_{c}( IR ) :

LCL_{α} [μ_{0} , σ_{0}] = inf ( μ_{0} )_{α} − \frac{z_{1−δ_{1}}}{\sqrt{m}} sup(σ_{0})_{α} ,
UCL_{α} [μ_{0} , σ_{0}] = sup( μ_{0} )_{α} + \frac{z_{1−δ_{2}}}{\sqrt{m}} sup(σ_{0})_{α} ,

(ii) μ_{0} known, σ_{o}^{2} unknown, μ_{0} , \overline{\overline{S}} ∈ U_{c}( IR ) :

LCL_{α} [μ_{0} , \overline{\overline{S}}] = inf ( μ_{0} )_{α} − \frac{z_{1−δ_{1}}}{\sqrt{m}} sup(\overline{\overline{S}})_{α} ,
UCL_{α} [μ_{0} , \overline{\overline{S}}] = sup( μ_{0} )_{α} + \frac{z_{1−δ_{2}}}{\sqrt{m}} sup(\overline{\overline{S}})_{α} ,

(iii) μ_{0} unknown, σ_{o}^{2} known, \overline{\overline{X}} , σ_{o}^{2} ∈ U_{c}( IR ) :

LCL_{α} [\overline{\overline{X}} , σ_{0}] = inf ( \overline{\overline{X}})_{α} − \frac{z_{1−δ_{1}}}{\sqrt{m}} sup(σ_{0})_{α} ,
UCL_{α} [\overline{\overline{X}} , σ_{0}] = sup( \overline{\overline{X}})_{α} + \frac{z_{1−δ_{2}}}{\sqrt{m}} sup(σ_{0})_{α} ,

(iv) μ_{0} and σ_{o}^{2} unknown, \overline{\overline{X}} , \overline{\overline{S}} ∈ U_{c}( IR ) :

LCL_{α} [\overline{\overline{X}} , \overline{\overline{S}}] = inf ( \overline{\overline{X}})_{α} − \frac{z_{1−δ_{1}}}{\sqrt{m}} sup(\overline{\overline{S}})_{α} ,
UCL_{α} [\overline{\overline{X}} , \overline{\overline{S}}] = sup( \overline{\overline{X}})_{α} + \frac{z_{1−δ_{2}}}{\sqrt{m}} sup(\overline{\overline{S}})_{α} .

6 The fuzzy - Shewhart control chart

In the last section, we discussed the general method of computing control limits for fuzzy - Shewhart control charts. For application purposes, two questions remain to be solved.

1. The stopping rule of the fuzzy - Shewhart - control chart.

2. The choice of the parameters δ_{1} , δ_{2} ∈ (0, 1) .

The problem which arises is that in principle we have to analyse infinite many α - levels (α ∈ (0, 1)) of the corresponding statistic. Following R.Kruse and K.D.Meyer [10], we suggest the following general procedure.

1. Choose an integer N as the number of inspection α-levels.

2. Choose K ∈ { 1 , …, N } arbitrary.

3. Choose the set of α-levels { α_{1} , …, α_{N} } ⊆ [0, 1) arbitrary.

4. Reject the null hypothesis, if at least K out of N α-levels are rejected.

This procedure, applied to the fuzzy control chart, leads to the following stopping rule.

Stopping rule for the fuzzy - Shewhart control chart

Stop the process if and only if in at least K out of N α-levels it holds :

cl (\overline{X})_{α_{i}} ⊈ [ LCL_{α_{i}} [μ_{1} , μ_{2}] , UCL_{α_{i}} [μ_{1} , μ_{2}] ] , where

N ∈ IN , K ∈ { 1 , …, N } , { α_{1} , …, α_{N} } ⊆ [0, 1) , i ∈ { 1 , …, N } , μ_{1} , μ_{2} ∈ U_{c}( IR ) .

Next we want to find optimal values for δ_{1} , δ_{2} ∈ (0, 1) for the case ” μ_{0} , σ_{0} known”. This will be done by studying the operating characteristic function. The following Lemma shows, how to calculate the operating characteristic function for every α-level.

Lemma 6.1 :

Let α ∈ [0, 1) , μ_{0} ∈ U_{c}( IR ) and σ_{0}^{2} ∈ U_{c}( IR ) be the given expectation and variance of the f.r.v. X , and let X_{1} , …, X_{m} be a fuzzy - random sample.

Hence, for every α ∈ [0, 1) it holds :

L^{α} ( μ) := P ( \{ ω ∈ Ω | cl ( \overline{X}_{ω})_{α} ⊆ [ UEG_{α} [μ_{0} , σ_{0}] , OEG_{α} [μ_{0} , σ_{0}] ] \})
≥ Φ (\frac{sup (μ_{0})_{α} − sup (μ)_{α}}{\sqrt{Var \overline{Y}_{α}}} · \sqrt{m} + z_{1−δ_{2}} ) −

Φ (\frac{inf (μ_{0})_{α} − inf (μ)_{α}}{\sqrt{Var \underline{Y}_{α}}} · \sqrt{m} − z_{1−δ_{1}} ) ,

where (\underline{Y})_{α} ( ω) := inf (X ( ω))_{α} , (\overline{Y})_{α} ( ω) := sup (X ( ω))_{α} .

Proof : Let N ∈ IN , X_{1} , …, X_{m} be a fuzzy random sample and \overline{X} = \frac{1}{m} ∑_{j=1}^{m} X_{j} . For abbreviation, define : ψ_{α} := inf (\overline{X})_{α} and ξ_{α} := sup (\overline{X})_{α} . Choose ( U_{1}^{(N)} , …, U_{m}^{(N)} ) ∈ χ_{α}^{m} and ( V_{1}^{(N)} , …, V_{m}^{(N)} ) ∈ χ_{α}^{m} such that

\overline{U}^{(N)} (ω) ≤ ψ_{α} + \frac{1}{N} , if ψ_{α} > −∞ ,
\overline{U}^{(N)} (ω) ≤ − N  , if ψ_{α} = −∞ ,
\overline{V}^{(N)} (ω) ≥ ξ_{α} − \frac{1}{N} , if ξ_{α} < ∞ ,
\overline{V}^{(N)} (ω) ≥ N  , if ξ_{α} = ∞ .

Furthermore, for the originals let us assume :

\begin{aligned}E U_{1}^{(N)} & = & ν^{(N)} , & ν^{(N)} & ∈ & E X_{α} & = & μ_{α} , \\ Var U_{1}^{(N)} & = & τ^{2 (N)} , & τ^{2 (N)} & ∈ & Var X_{α} & = & (σ_{0}^{2})_{α} , \end{aligned}

\begin{aligned}E V_{1}^{(N)} & = & λ^{(N)} , & λ^{(N)} & ∈ & E X_{α} & = & μ_{α} , \\ Var V_{1}^{(N)} & = & ϑ^{2 (N)} , & ϑ^{2 (N)} & ∈ & Var X_{α} & = & (σ_{0}^{2})_{α} . \end{aligned}

Under the assumptions of our model ν_{0}^{(N)} ∈ (μ_{0})_{α} and λ_{0}^{(N)} ∈ (μ_{0})_{α} exist, where ν_{0}^{(N)} and λ_{0}^{(N)} are the expectations of the random variables U_{j}^{(N)} and V_{j}^{(N)} , j ∈ { 1 , …, m } , in the in-control-state, respectively. It holds:

P ( \{ ω ∈ Ω | \overline{U}^{(N)}(ω) ≥ ν_{0}^{(N)} − \frac{z_{1−δ_{1}}}{\sqrt{m}} τ_{0}^{(N)} \} )

= P ( \{ ω ∈ Ω | \frac{\overline{U}^{(N)}(ω) − ν^{(N)}}{τ_{0}^{(N)}} \sqrt{m} ≥ \frac{ν_{0}^{(N)} − ν^{(N)}}{τ_{0}^{(N)}} \sqrt{m} − z_{1−δ_{1}} \} )
= 1 − Φ (\frac{ν_{0}^{(N)} − ν^{(N)}}{τ_{0}^{(N)}} \sqrt{m} − z_{1−δ_{1}} )

and

P ( \{ ω ∈ Ω | \overline{V}^{(N)}(ω) ≤ λ_{0}^{(N)} + \frac{Z_{1−δ_{2}}}{\sqrt{m}} ϑ_{0}^{(N)} \} )

= P ( \{ ω ∈ Ω | \frac{\overline{V}^{(N)}(ω) − λ^{(N)}}{ϑ_{0}^{(N)}} \sqrt{m} ≤ \frac{λ_{0}^{(N)} − λ^{(N)}}{ϑ_{0}^{(N)}} \sqrt{m} − z_{1−δ_{2}} \} )
= Φ (\frac{λ_{0}^{(N)} − λ^{(N)}}{ϑ_{0}^{(N)}} \sqrt{m} − z_{1−δ_{2}} ) .

Define for N ∈ IN :

A_{N} := \{ ω ∈ Ω | \begin{matrix}\overline{U}^{(N)} (ω) & ≥ & ν_{0}^{(N)} − \frac{z_{1−δ_{1}}}{\sqrt{m}} τ_{0}^{(N)} ∧ \\ \overline{V}^{(N)} (ω) & ≤ & λ_{0}^{(N)} + \frac{z_{1−δ_{2}}}{\sqrt{m}} ϑ_{0}^{(N)} \end{matrix} \} .

Thus, A_{N} ∈ Σ holds for N ∈ IN and

\begin{aligned}P (A_{N}) & ≥ & Φ (\frac{λ_{0}^{(N)} − λ^{(N)}}{ϑ_{0}^{(N)}} \sqrt{m} + z_{1−δ_{2}} ) − \\ & & Φ (\frac{ν_{0}^{(N)} − ν^{(N)}}{τ_{0}^{(N)}} \sqrt{m} − z_{1−δ_{1}} ) . \end{aligned}

Define :

A = lim_{N→∞} sup A_{N} = ⋂_{N=1}^{∞} ⋃_{K=N}^{∞} A_{K} ∈ Σ

(see e.g. Henze [5]). We have : A = { ω ∈ Ω | ω ∈ A_{N} for an infinite number of N’s } . Because of the definition A′_{N} := ⋃_{K=N}^{∞} A_{K} , it holds A = ⋂_{N=1}^{∞} A′_{N} , hence, we get for all N ∈ IN :

\begin{aligned}A′_{N} ⊇ A′_{N+1} & ⟹ & A′_{N} ↓ A \\ & ⟹ & P ( lim_{N→∞} A′_{N}) = lim_{N→∞} P (A′_{N}) . \end{aligned}

For all N ∈ IN , it holds :

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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; α; t]

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.; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; α; t]

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