Universität Ulm
Abteilung Stochastik

A. Frey
J. Wiedmann
Stochastik f. Informatiker
Übungsblatt 11
13.01.1998

Abgabe: 20.01.98

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Aufgabe 1:
Zwei Spieler, A und B, ziehen nacheinander aus einer Lostrommel mit 8 Kugeln (6 blaue, 2 rote) abwechselnd eine Kugel ohne Zurücklegen. Spieler A beginnt. Wer zuerst eine rote Kugel zieht hat gewonnen.
i)	Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit unter geeigneten Verteilungsannahmen (Laplace) die Wahrscheinlichkeit  dafür, daß Spieler A gewinnt ?
(4)
ii)	Wieviel Ziehungen sind im Mittel pro Spiel zu erwarten ?

Aufgabe 2: 
Die Zufallsvariable X habe die Dichte f(x) =  mit  >0, c > 0 (Pareto Verteilung).
i)	Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F von X
ii)	Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen Y:= log X
iii)	Die Verteilung der Zufallsvariablen Z sei gegeben durch , i ; mit . Man zeige, daß Z einen Erwartungswert, aber keine Varianz besitzt.
(6)

Aufgabe 3:
Es soll die Höhe H des Ulmer Münsters gemessen werden. Bekannt sind die (exakt gemessene) Entfernung c des Meßgerätes vom Ulmer Münster und der mit zufälligen Fehlern behaftete Winkel X (gemessen im Bogenmaß) zwischen Meßgerät und Münsterspitze. X sei gleichverteilt (d.h. X  U(a,b) mit 0 < a < b < /2 )
i) 	Berechnen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen H = ctan (X) und zeigen Sie, daß H die Dichte  besitzt.
ii) 	Berechnen Sie den Erwartungswert von H
(6)

Aufgabe 4:
Zur Beschreibung der Funktionsweise eines Geigerzählers bei Strahlungsmessungen sei die folgende Modellannahme gerechtfertigt: Treffen in einer Zeiteinheit auf den Zähler k Teilchen, so wird die Anzahl der vom Zähler registrierten Teilchen durch ein B(k,p) – verteilte Zufallsvariable beschrieben, wobei p eine Geräte-Konstante ist. Unter der Annahme, daß die Anzahl der pro Zeiteinheit auftreffenden Teilchen eine mit dem Parameter  Poisson-verteilte Zufallsvariable ist, berechne man
i)	die Verteilung
ii)	den Erwartungswert
iii)	die Varianz
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der Anzahl der pro Zeiteinheit registrierten Teilchen.