Universität Ulm
Abteilung Stochastik

A. Frey
J. Wiedmann
Stochastik f. Informatiker
Übungsblatt 12
20.01.1998

Abgabe: 27.01.98

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Aufgabe 1:
Man berechne den Erwartungswert und die Varianz einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen X mit Parameter p  (0,1).
(6)
(Hinweis: Man bilde dazu die ersten beiden Ableitungen der geometrischen Reihe .)

Aufgabe 2:
Einem Passanten wird an einer Straßenecke folgendes Würfelspiel mit zwei symmetrischen, unabhängig geworfenen Tetraedern (vierseitige Würfel mit den Augenzahlen 1-4) vorgeschlagen:

Zeigen die beiden Würfel die gleiche Augenzahl, so erhält er das Vierfache seines Einsatzes zurück, unterscheiden sich die Augenzahlen dagegen um 1, 2 oder 3, so verliert er den ein-, zwei- oder dreifachen Einsatz.
i) 	Man geben einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (, , P ) an
ii) 	Man berechne Erwartungswert und Varianz des Gewinns (negativer Gewinn  Verlust)
(6)
iii) 	Wie hoch muß die Auszahlung (als Vielfaches des Einsatz) bei gleicher Augenzahl gewählt werden, damit das Spiel fair wird, also einen mittleren Gewinn von 0 besitzt ?

Aufgabe 3:
Die Zufallsgröße X sei binomialverteilt mit den Parametern n und p. Berechnen Sie mittels der momenterzeugenden Funktion Erwartungswert und Varianz von X.
 (6)

Aufgabe 4:
Gegeben seien 2 Zufallsvariablen X und Y mit zugehörigen Dichtefunktionen
.

 (6)
Zeigen Sie, daß für diese beiden ZVA alle Momente übereinstimmen ! (Hinweise:  ist die Dichte der sog. Lognormalverteilung mit Parametern =0 und =1, das r-te Moment einer stetigen ZVA ist definiert als ), f(x) die zug. Dichtefunktion).