Universität Ulm
Abteilung Stochastik

A. Frey
J. Wiedmann
Stochastik f. Informatiker
Übungsblatt 3
04.11.1997

Abgabe: 11.11.97

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Bem.: Aufgabe 1 und 2 benötigen die geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit.
Hier wird der Raum aller Elementarereignisse  als ein beschränkter Teilbereich des ein-, zwei-, oder dreidimensionalen Euklidischen Raumes interpretiert (Bsp.:  ist endliches Intervall, Rechteck oder Kreis). Für zufällige Ereignisse A   wird dann mit  (A) das Maß von A bezeichnet (Bsp.: Ist A ein Teilintervall von , so ist  (A) die Länge des Teilintervalls u.s.w.). Es ergibt sich : P(A) =  (A) /  ().

Aufgabe 1:
Ein bezüglich seiner physikalischen Parameter homogener Draht wird an den Enden zwecks Zerreißprobe so eingespannt, daß der freie Draht eine Länge von 3m hat.
i) 	Mit welcher Wahrscheinlichkeit zerreißt der Draht im Intervall A = [2.5 m, 3 m] ?
ii) 	Mit welcher Wahrscheinlichkeit zerreißt der Draht im Bereich A = [0, 0.4 m]  [2.6 m, 3m] ?
(4)

Aufgabe 2:
Eine unendlich große (praktisch: hinreichend große) Tischplatte ist durch Linien in Quadrate der Seitenlänge a eingeteilt. Auf die Tischplatte wird eine kreisrunde Münze mit dem Radius r geworfen (2r < a).
i) 	Mit welcher Wahrscheinlichkeit bedeckt die Münze keine Teile von Linien ?
(5)
i) 	Jedes wievielte Markstück (r = 1.5 cm) hat durchschnittlich keinen Kontakt mit den Linien, wenn a = 6 cm beträgt?

Aufgabe 3:
(5)
Mit mindestens wieviel Würfeln muß gleichzeitig geworfen werden, damit die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A = “kein Würfel zeigt eine 6” kleiner als 0.1 ist ?

Aufgabe 4:
(6)
Aus einer Urne, in der sich N gleichartige Kugeln mit den Nummern 1,2,..,N befinden, werden zufällig n Kugeln gleichzeitig herausgegriffen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses :
= “Die größte gezogene Zahl ist kleiner oder gleich k” , n  k  N.

Aufgabe 5:
Ein elektrischer Schaltkreis bestehe aus 4 Relais (1,2,3 und 4) mit folgender Schaltungsanordnung

Jedes Relais sei mit Wahrscheinlichkeit 0.5 offen (Zustand 0) und mit Wahrscheinlichkeit 0.5 geschlossen (Zustand 1). Mit welcher Wahrscheinlichkeit existiert ein Weg vom Eingang E des Schaltkreises zum Ausgang A (Ereignis A), der nur über geschlossene Relais führt?
Es sei  das Ereignis, daß Relais i (i = 1,2,3,4) geschlossen ist.
(2)
i) 	Stelle das Ereignis A unter Verwendung der  und geeigneten Mengenoperationen (,, \) dar.
(3)
ii) 	Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter Verwendung der Darstellung in i) und gib deren Wert an.