Tests der Gleichheit von Erwartungswerten

1. Bekannte Varianzen
   • Wir nehmen an, dass $X_{1i}\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2)$ und $X_{2i}\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2)$ für (unbekannte) $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ und (bekannte) $\sigma_1^2,\sigma_2^2>0$.
   • Dabei soll die Hypothese $H_0: \mu_1=\mu_2$ (gegen die Alternative $H_1:\mu_1\not=\mu_2$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{(\mu_1,\mu_2):\,\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}\}$ mit
     $$\Theta_0=\{(\mu_1,\mu_2):\,\mu_1=\mu_2\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu_1,\mu_2):\,\mu_1\not=\mu_2\}$$

   • Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ mit

     $$T(x_1,\ldots,x_n)=\frac{\overline x_{1n_1}-\overline x_{2n_2}}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+ \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$$ (14)

     
     
     und den Schwellenwert $c=z_{1-\alpha/2}$.
   • Weil $\overline X_{1n_1}\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2/n_1)$ bzw. $\overline X_{2n_2}\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2/n_2)$, gilt dann $T(X_1,\ldots,X_n)\sim$ N$(0,1)$ und somit
     $$P_{(\mu_1,\mu_2)}\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$$
     für alle $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ mit $\mu_1=\mu_2$.
   • Die Hypothese $H_0: \mu_1=\mu_2$ wird abgelehnt, falls $\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}$.

   
   

2. Gleiche, jedoch unbekannte Varianzen
   • Wir nehmen an, dass $X_{1i}\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2)$ und $X_{2i}\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2)$ für (unbekannte) $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ und (unbekannte) $\sigma_1^2,\sigma_2^2>0$ mit $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$.
   • Dabei soll erneut die Hypothese $H_0: \mu_1=\mu_2$ (gegen die Alternative $H_1:\mu_1\not=\mu_2$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2):\,\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}$ mit
     $$\Theta_0=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2):\,\mu_1=\mu_2\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2):\,\mu_1\not=\mu_2\}$$

   • Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ mit

     $$T(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt{\frac{n_1\cdot n_2}{n_1+n_2}}\; \frac{\overline x_{1n_1}-\overline x_{2n_2}}{s_{n_1\,n_2}}\;,$$ (15)

     
     
     wobei
     $$s^2_{n_1\,n_2}=\frac{1}{n_1+n_2-2}\Bigl(\sum\limits _{i=1}^{n_1}... ... x_{1n_1})^2+ \sum\limits _{i=1}^{n_2}(x_{2i}-\overline x_{2n_2})^2\Bigr)\,.$$

   • Man kann zeigen, dass dann $\mbox{$T(X_1,\ldots,X_n)\sim$ t$_{n_1+n_2-2}$}$ für $\mu_1=\mu_2$.
   • Mit dem Schwellenwert $c=t_{n_1+n_2-2,1-\alpha/2}$ ergibt sich also
     $$P_{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2)}\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert> t_{n_1+n_2-2,1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$$
     für alle $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ mit $\mu_1=\mu_2$ und für alle $\sigma^2>0$.
   • Die Hypothese $H_0: \mu_1=\mu_2$ wird somit abgelehnt, falls $\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>t_{n_1+n_2-2,1-\alpha/2}$.

   
   

3. Verbundene Stichproben Wir testen nun die Gleichheit von Erwartungswerten verbundener Stichproben, vgl. auch Abschnitt 3.3.3. Dabei setzen wir voraus, dass $n_1=n_2$ $(=n)$. Die Zufallstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n})$ und $(X_{21},\ldots,X_{2n})$ müssen jedoch jetzt nicht unabhängig sein.
   • Wir nehmen an, dass ${\mathbb{E}\,}X_{1i}=\mu_1$ und ${\mathbb{E}\,}X_{2i}=\mu_2$ für (unbekannte) $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$.
   • Außerdem seien die Differenzen $Y_1,\ldots,Y_n$ mit $Y_i=X_{1i}-X_{2i}$ unabhängige und identisch (normal-) verteilte Zufallsvariablen mit $Y_i\sim$ N $(\mu_1-\mu_2,\sigma^2)$ für ein (unbekanntes) $\sigma^2>0$.
   • Es soll die Hypothese $H_0: \mu_1=\mu_2$ (gegen die Alternative $H_1:\mu_1\not=\mu_2$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2):\,\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}$ mit
     $$\Theta_0=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2):\,\mu_1=\mu_2\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2):\,\mu_1\not=\mu_2\}$$

   • Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ mit

     $$T(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt{n}\;\frac{\overline y_n}{s_{y,n}}\;,$$ (16)

     
     
     wobei $\overline y_n=\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n y_i$ und $s_{y,n}^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits _{i=1}^n (y_i-\overline y_n)^2$.
   • Dann gilt $\mbox{$T(X_1,\ldots,X_n)\sim$\ t$_{n-1}$}$ für $\mu_1=\mu_2$.
   • Mit dem Schwellenwert $c=t_{n-1,1-\alpha/2}$ ergibt sich also
     $$P_{(\mu_1,\mu_2,\sigma^2)}\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert> t_{n-1,1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$$
     für alle $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ mit $\mu_1=\mu_2$ und für alle $\sigma^2>0$.
   • Die Hypothese $H_0: \mu_1=\mu_2$ wird somit abgelehnt, falls $\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>t_{n-1,1-\alpha/2}$.