Ränge von Stichprobenwerten; Rang-Korrelationskoeffizient

1. Ränge von Stichprobenwerten

   
   Eine weitere Maßzahl zur Beschreibung des (gebenenfalls vorhandenen) Zusammenhanges zwischen den Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ und $(y_1,\ldots,y_n)$ der Merkmale/Kenngrößen/Variablen $X$ bzw. $Y$ erhalten wir,

   • wenn wir die sogenannten Ränge der Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ bzw. $y_1,\ldots,y_n$ betrachten.
   • Hierfür gehen wir von den geordneten Stichproben $(x_{(1)},\ldots,x_{(n)})$ bzw. $(y_{(1)},\ldots,y_{(n)})$ mit $x_{(1)}\le\ldots\le x_{(n)}$ bzw. $y_{(1)}\le\ldots\le y_{(n)}$ aus, die bereits in Abschnitt 2.2.1 betrachtet wurden.
   • Dabei nehmen wir (der Einfachheit wegen) an, dass
     $$x_{(1)}<\ldots<x_{(n)}$$   und$$\qquad y_{(1)}<\ldots<y_{(n)}\,,$$
     d.h., sämtliche Werte in den Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ bzw. $(y_1,\ldots,y_n)$ seien voneinander verschieden.
   • Für jedes $i\in\{1,\ldots,n\}$ gibt es dann eine (eindeutig bestimmte) Zahl $j\in\{1,\ldots, n\}$, so dass $x_i=x_{(j)}$ gilt.
   • Die auf diese Weise (für jedes $i\in\{1,\ldots,n\}$) gegebene Zahl $j=j(i)$ heißt der Rang des Stichprobenwertes $x_i$, wobei der Rang von $x_i$ mit ${\rm rg\,}(x_i)$ bezeichnet wird.
   • Der Rang ${\rm rg\,}(y_i)$ des Stichprobenwertes $y_i$ wird auf analoge Weise definiert.

   
   

2. Rang-Korrelationskoeffizient
   • Der Rang-Korrelationskoeffizient $\rho^\prime_{xy}$ (auch Spearmans Korrelationskoeffizient genannt) ist der in (23) bzw. (25) gegebene empirische Korrelationskoeffizient für die Rangstichproben $\bigl({\rm rg\,}(x_1),\ldots,{\rm rg\,}(x_n)\bigr)$ und $\bigl({\rm rg\,}(y_1),\ldots,{\rm rg\,}(y_n)\bigr)$, d.h.,
     • es gilt

       $$\rho^\prime_{xy}=\frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n {\rm rg\... ...igr(\sum\limits_{i=1}^n {\rm rg\,}^2(y_i)-n\overline{\rm rg\,}_y)^2\Bigr)}}\;,$$ (29)

       
       

     • wobei die Mittelwerte $\overline{\rm rg\,}_x$ bzw. $\overline{\rm rg\,}_y$ der Ränge der Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ bzw. $(y_1,\ldots,y_n)$ gegeben sind durch
       $$\overline{\rm rg\,}_x=\frac{1}{n}\;\sum\limits_{i=1}^n {\rm rg\,... ..._{i=1}^n {\rm rg\,}(y_i)=\frac{1}{n}\;\sum\limits_{i=1}^n i=\frac{n+1}{2}\;.$$

   • Aus der Definitionsgleichung (29) folgt, dass
     • der Rang-Korrelationskoeffizient $\rho^\prime_{xy}$ robuster ist als der in Abschnitt 2.4.2 eingeführte empirische Korrelationskoeffizient $\rho _{xy}$, d.h.,
     • das Zusammenhangsmaß $\rho^\prime_{xy}$ reagiert weniger stark als $\rho _{xy}$ auf extreme Wertepaare $(x_i,y_i)$.
   • der Rang-Korrelationskoeffizient $\rho^\prime_{xy}$ nimmt Werte im Intervall $[-1,1]$ an, wobei
     • $\rho^\prime_{xy}$ eine Maßzahl für den monotonen Zusammenhang zwischen den Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ und $(y_1,\ldots,y_n)$ ist,
     • im Unterschied zum empirischen Korrelationskoeffizienten $\rho _{xy}$, der eine Maßzahl für den linearen Zusammenhang zwischen $(x_1,\ldots,x_n)$ und $(y_1,\ldots,y_n)$ ist.
   • Dabei ist $\rho^\prime_{xy}=1$,
     • falls für beliebige Paare $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ mit $i\not= j$ die Ungleichung $x_i<x_j$ genau dann gilt, wenn $y_i<y_j$.
     • In diesem Fall liegen sämtliche Rangpaare $({\rm rg\,}(x_i),{\rm rg\,}(y_i))$ für $i=1,\ldots,n$ auf einer Geraden mit positivem Anstieg.
   • Der umgekehrte Extremfall $\rho^\prime_{xy}=-1$ ist gegeben,
     • falls für beliebige Paare $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ mit $i\not= j$ die Ungleichung $x_i<x_j$ genau dann gilt, wenn $y_i>y_j$.
     • In diesem Fall liegen sämtliche Rangpaare $({\rm rg\,}(x_i),{\rm rg\,}(y_i))$ für $i=1,\ldots,n$ auf einer Geraden mit negativem Anstieg.

   
   

3. Alternative Darstellungsformel 

   
   Falls sämtliche Werte in den Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ bzw. $(y_1,\ldots,y_n)$ voneinander verschieden sind, dann lässt sich der Rang-Korrelationskoeffizient $\rho^\prime_{xy}$ auch in der folgenden Form darstellen:

   $$\rho^\prime_{xy}=1-\;\frac{\displaystyle 6\sum\limits_{i=1}^n \bigl({\rm rg\,}(x_i)-{\rm rg\,}(y_i)\bigr)^2}{(n^2-1)n}\;,$$ (30)

   
   
   wobei diese alternative Darstellung des Korrelationskoeffizienten $\rho^\prime_{xy}$ günstiger für das praktische Rechnen ist.

   
   

4. Invarianzeigenschaft bei monotoner Daten-Transformation
   • Außer den ursprünglichen Stichprobenwerten $x_1,\ldots,x_n$ bzw. $y_1,\ldots,y_n$ betrachten wir nun noch die monoton transformierten Stichprobenwerte $x^\prime_1,\ldots,x^\prime_n$ bzw. $y^\prime_1,\ldots,y^\prime_n$, wobei $x^\prime_i=g(x_i)$ bzw. $y^\prime_i=h(y_i)$ für jedes $i=1,\ldots,n$ und für Funktionen $g,\,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, die entweder (streng) monoton wachsend oder fallend sind.
   • Bei solchen monotonen Daten-Transformationen
     • ändern sich die Ränge der Stichprobenwerte nicht, falls $g$ bzw. $h$ monoton wachsend ist,
     • oder sie kehren sich um, falls $g$ bzw. $h$ monoton fallend ist.
   • Unmittelbar aus der Definitionsgleichung (29) des Rang-Korrelationskoeffizienten $\rho^\prime_{xy}$ ergibt sich somit, dass

     $$\rho^\prime_{xy} =\left\{ \begin{array}{ll} \rho^\prime_{x^\prime... ...ox{falls $g$\ wachsend und $h$\ fallend (oder umgekehrt).} \end{array}\right.$$ (31)

     
     

   
   

5. Stichproben mit Bindungen
   • Wenn nicht sämtliche Werte in den Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ bzw. $(y_1,\ldots,y_n)$ voneinander verschieden sind, d.h.,
     • wenn es Werte gibt, die mehrfach in $(x_1,\ldots,x_n)$ bzw. $(y_1,\ldots,y_n)$ vorkommen,
     • dann spricht man von Stichproben mit Bindungen.
   • In diesem Fall bildet man sogenannte Durchschnittsränge, die jedoch bewirken, dass die Zuordnung $i\mapsto j(i)$ der Ränge nicht mehr eineindeutig ist.
   • Falls beispielsweise
     • der Stichprobenwert $6.90$ zweimal in der Stichprobe vorkommt und falls es nur einen Wert gibt, der kleiner als $6.90$ ist,
     • so wird den beiden Stichprobenwerten, die gleich $6.90$ sind, jeweils der Rang ${\rm rg\,}(6.90)=(2+3)/2=2.5$ zugeordnet (wobei die Ränge $2$ und $3$ dann entfallen).
   • Mit Hilfe dieses allgemeineren Rang-Begriffes lässt sich der Rang-Korrelationskoeffizient $\rho^\prime_{xy}$ auch für Stichproben mit Bindungen durch die Definitionsgleichung (29) bestimmen.

   
   

6. Beispiel$\;$ (vgl. J. Hüsler, H. Zimmermann (2001) Statistische Prinzipien für medizinische Projekte. Huber-Verlag, Bern, S. 183 ff.)
   • Im Rahmen einer medizinischen Studie wurde das Geburtsgewicht (in $g$) von 20 Säuglingen sowie die Gewichtszunahme (in $g$) der Säuglinge zwischen dem 70. und 100. Tag untersucht.
   • Dabei wurden die folgenden Daten beobachtet:

     Säugling	Geburts-	Gewichts-	Säugling	Geburts-	Gewichts-
     	gewicht	zunahme		gewicht	zunahme
     	$x_i$	$y_i$		$x_i$	$y_i$
     1	2740	2550	11	3260	820
     2	3180	1790	12	3350	1190
     3	3150	1870	13	3630	1360
     4	3030	2040	14	3630	1420
     5	3370	1470	15	3490	1960
     6	2610	2130	16	3290	1670
     7	3570	2150	17	3540	770
     8	2270	3350	18	3570	1700
     9	2300	3400	19	3460	2010
     10	2380	3230	20	3570	2490

     
     

   • Für diesen Datensatz ergibt sich das folgende Streudiagramm:
     

     
     

   • Außerdem ergeben sich die folgenden Werte für
     • Stichprobenmittel bzw. Standardabweichung der Geburtsgewichte $x_1,\ldots,x_{20}$:
       $$\overline x_{20}=3169.5\,,\qquad s_x=460.6\,,$$

     • Stichprobenmittel bzw. Standardabweichung der Gewichtszunahmen $y_1,\ldots,y_{20}$:
       $$\overline y_{20}=1968.5\,,\qquad s_y=750.8\,,$$

     • sowie für den empirischen Korrelationskoeffizienten:

       $$\rho_{xy}= -0.762\,.$$ (32)

       
       

     
     

   • Beachte 
     • Die beiden Merkmale ,,Geburtsgewicht'' und ,,Gewichtszunahme'' sind negativ korreliert, d.h.,
     • kleine Geburtsgewichte sind mit großen Gewichtszunahmen (und umgekehrt große Geburtsgewichte mit kleinen Gewichtszunahmen) zwischen dem 70. und 100. Tag verbunden.
     • Der in (32) gegebene empirische Korrelationskoeffizient $\rho _{xy}$ liegt jedoch nicht in unmittelbarer Nähe von $-1$, d.h. die Wertepaare $(x_i,y_i)$ liegen nicht sehr nahe an einer Geraden (mit negativem Anstieg), vgl. auch das Streudiagramm.
     • Aus dem Streudiagramm ist außerdem ersichtlich, dass der (näherungsweise) lineare Zusammenhang zwischen den Merkmalen ,,Geburtsgewicht'' und ,,Gewichtszunahme'' überwiegend durch eine kleine Anzahl von Wertepaaren $(x_i,y_i)$ mit (extrem) geringem Geburtsgewicht $x_i$ getragen wird.
     • Dies lässt vermuten, dass der Rang-Korrelationskoeffizient $\rho^\prime_{xy}$ der beiden Stichproben $(x_1,\ldots,x_{20})$ und $(y_1,\ldots,y_{20})$ näher bei 0 liegt als der in (32) gegebene empirische Korrelationskoeffizient $\rho _{xy}$.

     
     

   • In der folgenden Tabelle sind die Ränge der Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_{20}$ bzw. $y_1,\ldots,y_{20}$ gegeben:

     
     

     Säugling	Rang	Rang	Säugling	Rang	Rang
     	Geb.-gewicht	Gew.-zunahme		Geb.-gewicht	Gew.-zunahme
     	${\rm rg\,}(x_i)$	${\rm rg\,}(y_i)$		${\rm rg\,}(x_i)$	${\rm rg\,}(y_i)$
     1	5	17	11	9	2
     2	8	9	12	11	3
     3	7	10	13	19.5	4
     4	6	13	14	19.5	5
     5	12	6	15	14	11
     6	4	14	16	10	7
     7	17	15	17	15	1
     8	1	19	18	17	8
     9	2	20	19	13	12
     10	3	18	20	17	16

     
     
     
     
     
     
     
   • Für diesen Datensatz ergibt sich das folgende Streudiagramm:
     

     
     

   • In dem Streudiagramm der Ränge ist der (negativ korrelierte) lineare Zusammenhang der beiden Merkmale ,,Geburtsgewicht'' und ,,Gewichtszunahme'' weniger deutlich (als vorher in dem Streudiagramm der Rohdaten) ausgeprägt.
   • Das wird auch durch den Rang-Korrelationskoeffizient $\rho^\prime_{xy}=-0.56$ unterstrichen, den man durch Einsetzen in die Definitonsgleichung (29) erhält und der deutlich näher bei 0 liegt als $\rho_{xy}= -0.762$.