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Vektor- bzw. Matrixschreibweise
- Wir kehren nun zu dem (allgemeinen) multiplen linearen
Regressionmodell mit einer beliebigen Anzahl von
Einflussfaktoren zurück, das bereits in
Abschnitt betrachtet wurde.
- Ähnlich wie bei der Herleitung von () (d.h. bei
der Lösung des entsprechenden Minimierungsproblems im Fall zweier
Einflussfaktoren) kann man zeigen, dass für eine beliebige Anzahl
von Einflussfaktoren
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(64) |
- das (eindeutig bestimmte) Minimum des in ()
betrachteten Abweichungsmßes ist,
- wobei
die transponierte Matrix
bezeichnet, die sich durch Vertauschung der Zeilen und Spalten von
ergibt,
- und
die inverse Matrix von
ist.
- Beachte
- Der Rang
einer Matrix
ist die
maximale Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren (bzw.
Spaltenvektoren) von
.
- Zur Erinnerung: Die Vektoren
heißen linear abhängig, falls es reelle Zahlen
gibt, die nicht alle gleich Null sind,
so dass
. Anderenfalls
heißen die Vektoren
linear unabhängig.
- Weil wir voraussetzen, dass die Designmatrix
vollen
(Spalten-) Rang
hat, ist die symmetrische Matrix
regulär, d.h., es gilt
.
- Somit ist
auch invertierbar, d.h., es gibt
eine (eindeutig bestimmte) Matrix
, so dass
wobei
die -dimensionale
Einheitsmatrix bezeichnet mit
- Beachte
- Der in () gegebene Kleinste-Quadrate-Schätzer
für
den Parametervektor
ist ein
sogenannter linearer Schätzer, d.h.,
ist eine
lineare Funktion der Zufallsstichprobe
.
- Der Schätzer
hat die folgenden
Güteeigenschaften:
- Es gilt
für jedes
, d.h.,
ist
erwartungstreu.
- Für jeden anderen linaren erwartungstreuen Schätzer
für
gilt
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(65) |
wobei die Gleichheit in
genau dann für jedes
gilt, wenn
,
d.h.,
ist bester linearer
erwartungstreuer Schätzer für
.
- Die (zufällige) Abbildung
mit
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(66) |
die jedem Vektor
von Werten der
Einflussfaktoren die Zufallsvariable
zuordnet,
heißt empirische Regressionshyperebene.
- Außerdem kann man in Verallgemeinerung von ()
zeigen, dass die ,,Reststreueung'' um die empirische
Regressionshyperebene, die gegeben ist durch
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(67) |
ein erwartungstreuer Schätzer für ist, d.h., es gilt
.
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Andreas Narr
2004-07-12