Beispiel

Betrachten Roulette-Spiel mit 38 möglichen Ausgängen, nämlich 18 rote Felder, 18 schwarze Felder und 2 grüne Felder. Betrachten Spieler, der auf ,,Rot'' setzt. Er gewinnt 1 Euro mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{18}{38}$ und verliert 1 Euro mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{20}{38}$. Sei nun $X_{n}$ der zufällige ,,Gewinn'' beim $n$-ten Spiel. Dann gilt:

$$P(X_{n}=1)=\frac{9}{19},\qquad P(X_{n}=-1)=\frac{10}{19}\;.$$

Die Zufallsgrößen $X_{1},X_{2},\ldots$ sind unabhängig und identisch verteilt. Betrachten Gesamtgewinn $S_{n}=X_{1}+\ldots +X_{n}$ aus den ersten $n$ Spielen. Die Folge $S_1,S_2,\ldots$ heißt Random Walk.

Wie groß ist der erwartete Gewinn ${\mathbb{E}\,}X_n$ beim $n$-ten Spiel? Wie groß ist der erwartete Gesamtgewinn ${\mathbb{E}\,}S_n$ aus den ersten $n$ Spielen? Es gilt:

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle {\mathbb{E}\,}X_{n} & = & 1\cdot... ...= & {\mathbb{E}\,}X_{1}+\ldots +{\mathbb{E}\,}X_{n}=-n\cdot 0.05263 \end{array}$$

(Schwaches) Gesetz der großen Zahlen$\;$ ,,Für große $n$ ist $\frac{S_{n}}{n}$ nahe bei ${\mathbb{E}\,}X_{1}$ mit hoher Wahrscheinlichkeit.''
Zentraler Grenzwertsatz$\;$ ,,Für große $n$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit $P\left( a\leq \frac{S_{n}-{\mathbb{E}\,}S_n}{\sqrt{n}}\leq b\right)$ durch die Normalverteilung approximieren, wobei $a,b\in\mathbb{R}$ mit $a<b$ beliebige, jedoch fest vorgegebene Toleranzgrenzen sind.''

Beachte

  Den Begriffsbildungen ,,Zufallsgröße'', ,,unabhängig'', ,,identisch verteilt'', ,,für große $n$'', ,,nahe bei ${\mathbb{E}\,}X_1$'', ,,mit hoher Wahrscheinlichkeit'' bzw. ,,Normalverteilung'' liegen mathematische Definitionen zugrunde. Sie gehören zu den Grundbegriffen der Stochastik, die in den folgenden Abschnitten detailliert erläutert werden.