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Beispiel

Betrachten Roulette-Spiel mit 38 möglichen Ausgängen, nämlich 18 rote Felder, 18 schwarze Felder und 2 grüne Felder. Betrachten Spieler, der auf ,,Rot'' setzt. Er gewinnt 1 Euro mit der Wahrscheinlichkeit $ \frac{18}{38}$ und verliert 1 Euro mit der Wahrscheinlichkeit $ \frac{20}{38}$. Sei nun $ X_{n}$ der zufällige ,,Gewinn'' beim $ n$-ten Spiel. Dann gilt:

$\displaystyle P(X_{n}=1)=\frac{9}{19},\qquad P(X_{n}=-1)=\frac{10}{19}\;.
$

Die Zufallsgrößen $ X_{1},X_{2},\ldots$ sind unabhängig und identisch verteilt. Betrachten Gesamtgewinn $ S_{n}=X_{1}+\ldots
+X_{n}$ aus den ersten $ n$ Spielen. Die Folge $ S_1,S_2,\ldots$ heißt Random Walk.

Wie groß ist der erwartete Gewinn $ {\mathbb{E}\,}X_n$ beim $ n$-ten Spiel? Wie groß ist der erwartete Gesamtgewinn $ {\mathbb{E}\,}S_n$ aus den ersten $ n$ Spielen? Es gilt:

$\displaystyle \begin{array}{rcl}
\displaystyle
{\mathbb{E}\,}X_{n} & = & 1\cdot...
...= & {\mathbb{E}\,}X_{1}+\ldots +{\mathbb{E}\,}X_{n}=-n\cdot 0.05263
\end{array}$

(Schwaches) Gesetz der großen Zahlen$ \;$ ,,Für große $ n$ ist $ \frac{S_{n}}{n}$ nahe bei $ {\mathbb{E}\,}X_{1}$ mit hoher Wahrscheinlichkeit.''
Zentraler Grenzwertsatz$ \;$ ,,Für große $ n$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit $ P\left( a\leq \frac{S_{n}-{\mathbb{E}\,}S_n}{\sqrt{n}}\leq b\right)$ durch die Normalverteilung approximieren, wobei $ a,b\in\mathbb{R}$ mit $ a<b$ beliebige, jedoch fest vorgegebene Toleranzgrenzen sind.''

Beachte
  Den Begriffsbildungen ,,Zufallsgröße'', ,,unabhängig'', ,,identisch verteilt'', ,,für große $ n$'', ,,nahe bei $ {\mathbb{E}\,}X_1$'', ,,mit hoher Wahrscheinlichkeit'' bzw. ,,Normalverteilung'' liegen mathematische Definitionen zugrunde. Sie gehören zu den Grundbegriffen der Stochastik, die in den folgenden Abschnitten detailliert erläutert werden.


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Ursa Pantle 2004-05-10