DCHKST

   Univ. of Tennessee, Univ. of California Berkeley and NAG Ltd..
   November 2006

Purpose

DCHKST  checks the symmetric eigenvalue problem routines.

   DSYTRD factors A as  U S U' , where ' means transpose,
   S is symmetric tridiagonal, and U is orthogonal.
   DSYTRD can use either just the lower or just the upper triangle
   of A; DCHKST checks both cases.
   U is represented as a product of Householder
   transformations, whose vectors are stored in the first
   n-1 columns of V, and whose scale factors are in TAU.

   DSPTRD does the same as DSYTRD, except that A and V are stored
   in "packed" format.

   DORGTR constructs the matrix U from the contents of V and TAU.

   DOPGTR constructs the matrix U from the contents of VP and TAU.

   DSTEQR factors S as  Z D1 Z' , where Z is the orthogonal
   matrix of eigenvectors and D1 is a diagonal matrix with
   the eigenvalues on the diagonal.  D2 is the matrix of
   eigenvalues computed when Z is not computed.

   DSTERF computes D3, the matrix of eigenvalues, by the
   PWK method, which does not yield eigenvectors.

   DPTEQR factors S as  Z4 D4 Z4' , for a
   symmetric positive definite tridiagonal matrix.
   D5 is the matrix of eigenvalues computed when Z is not
   computed.

   DSTEBZ computes selected eigenvalues.  WA1, WA2, and
   WA3 will denote eigenvalues computed to high
   absolute accuracy, with different range options.
   WR will denote eigenvalues computed to high relative
   accuracy.

   DSTEIN computes Y, the eigenvectors of S, given the
   eigenvalues.

   DSTEDC factors S as Z D1 Z' , where Z is the orthogonal
   matrix of eigenvectors and D1 is a diagonal matrix with
   the eigenvalues on the diagonal ('I' option). It may also
   update an input orthogonal matrix, usually the output
   from DSYTRD/DORGTR or DSPTRD/DOPGTR ('V' option). It may
   also just compute eigenvalues ('N' option).

   DSTEMR factors S as Z D1 Z' , where Z is the orthogonal
   matrix of eigenvectors and D1 is a diagonal matrix with
   the eigenvalues on the diagonal ('I' option).  DSTEMR
   uses the Relatively Robust Representation whenever possible.

When DCHKST is called, a number of matrix "sizes" ("n's") and a
number of matrix "types" are specified.  For each size ("n")
and each type of matrix, one matrix will be generated and used
to test the symmetric eigenroutines.  For each matrix, a number
of tests will be performed:

(1)     | A - V S V' | / ( |A| n ulp ) DSYTRD( UPLO='U', ... )

(2)     | I - UV' | / ( n ulp )        DORGTR( UPLO='U', ... )

(3)     | A - V S V' | / ( |A| n ulp ) DSYTRD( UPLO='L', ... )

(4)     | I - UV' | / ( n ulp )        DORGTR( UPLO='L', ... )

(5-8)   Same as 1-4, but for DSPTRD and DOPGTR.

(9)     | S - Z D Z' | / ( |S| n ulp ) DSTEQR('V',...)

(10)    | I - ZZ' | / ( n ulp )        DSTEQR('V',...)

(11)    | D1 - D2 | / ( |D1| ulp )        DSTEQR('N',...)

(12)    | D1 - D3 | / ( |D1| ulp )        DSTERF

(13)    0 if the true eigenvalues (computed by sturm count)
        of S are within THRESH of
        those in D1.  2*THRESH if they are not.  (Tested using
        DSTECH)

For S positive definite,

(14)    | S - Z4 D4 Z4' | / ( |S| n ulp ) DPTEQR('V',...)

(15)    | I - Z4 Z4' | / ( n ulp )        DPTEQR('V',...)

(16)    | D4 - D5 | / ( 100 |D4| ulp )       DPTEQR('N',...)

When S is also diagonally dominant by the factor gamma < 1,

(17)    max | D4(i) - WR(i) | / ( |D4(i)| omega ) ,
         i
        omega = 2 (2n-1) ULP (1 + 8 gamma**2) / (1 - gamma)**4
                                             DSTEBZ( 'A', 'E', ...)

(18)    | WA1 - D3 | / ( |D3| ulp )          DSTEBZ( 'A', 'E', ...)

(19)    ( max { min | WA2(i)-WA3(j) | } +
           i     j
          max { min | WA3(i)-WA2(j) | } ) / ( |D3| ulp )
           i     j
                                             DSTEBZ( 'I', 'E', ...)

(20)    | S - Y WA1 Y' | / ( |S| n ulp )  DSTEBZ, SSTEIN

(21)    | I - Y Y' | / ( n ulp )          DSTEBZ, SSTEIN

(22)    | S - Z D Z' | / ( |S| n ulp )    DSTEDC('I')

(23)    | I - ZZ' | / ( n ulp )           DSTEDC('I')

(24)    | S - Z D Z' | / ( |S| n ulp )    DSTEDC('V')

(25)    | I - ZZ' | / ( n ulp )           DSTEDC('V')

(26)    | D1 - D2 | / ( |D1| ulp )           DSTEDC('V') and
                                             DSTEDC('N')

Test 27 is disabled at the moment because DSTEMR does not
guarantee high relatvie accuracy.

(27)    max | D6(i) - WR(i) | / ( |D6(i)| omega ) ,
         i
        omega = 2 (2n-1) ULP (1 + 8 gamma**2) / (1 - gamma)**4
                                             DSTEMR('V', 'A')

(28)    max | D6(i) - WR(i) | / ( |D6(i)| omega ) ,
         i
        omega = 2 (2n-1) ULP (1 + 8 gamma**2) / (1 - gamma)**4
                                             DSTEMR('V', 'I')

Tests 29 through 34 are disable at present because DSTEMR
does not handle partial specturm requests.

(29)    | S - Z D Z' | / ( |S| n ulp )    DSTEMR('V', 'I')

(30)    | I - ZZ' | / ( n ulp )           DSTEMR('V', 'I')

(31)    ( max { min | WA2(i)-WA3(j) | } +
           i     j
          max { min | WA3(i)-WA2(j) | } ) / ( |D3| ulp )
           i     j
        DSTEMR('N', 'I') vs. SSTEMR('V', 'I')

(32)    | S - Z D Z' | / ( |S| n ulp )    DSTEMR('V', 'V')

(33)    | I - ZZ' | / ( n ulp )           DSTEMR('V', 'V')

(34)    ( max { min | WA2(i)-WA3(j) | } +
           i     j
          max { min | WA3(i)-WA2(j) | } ) / ( |D3| ulp )
           i     j
        DSTEMR('N', 'V') vs. SSTEMR('V', 'V')

(35)    | S - Z D Z' | / ( |S| n ulp )    DSTEMR('V', 'A')

(36)    | I - ZZ' | / ( n ulp )           DSTEMR('V', 'A')

(37)    ( max { min | WA2(i)-WA3(j) | } +
           i     j
          max { min | WA3(i)-WA2(j) | } ) / ( |D3| ulp )
           i     j
        DSTEMR('N', 'A') vs. SSTEMR('V', 'A')

The "sizes" are specified by an array NN(1:NSIZES); the value of
each element NN(j) specifies one size.
The "types" are specified by a logical array DOTYPE( 1:NTYPES );
if DOTYPE(j) is .TRUE., then matrix type "j" will be generated.
Currently, the list of possible types is:

(1)  The zero matrix.
(2)  The identity matrix.

(3)  A diagonal matrix with evenly spaced entries
     1, ..., ULP  and random signs.
     (ULP = (first number larger than 1) - 1 )
(4)  A diagonal matrix with geometrically spaced entries
     1, ..., ULP  and random signs.
(5)  A diagonal matrix with "clustered" entries 1, ULP, ..., ULP
     and random signs.

(6)  Same as (4), but multiplied by SQRT( overflow threshold )
(7)  Same as (4), but multiplied by SQRT( underflow threshold )

(8)  A matrix of the form  U' D U, where U is orthogonal and
     D has evenly spaced entries 1, ..., ULP with random signs
     on the diagonal.

(9)  A matrix of the form  U' D U, where U is orthogonal and
     D has geometrically spaced entries 1, ..., ULP with random
     signs on the diagonal.

(10) A matrix of the form  U' D U, where U is orthogonal and
     D has "clustered" entries 1, ULP,..., ULP with random
     signs on the diagonal.

(11) Same as (8), but multiplied by SQRT( overflow threshold )
(12) Same as (8), but multiplied by SQRT( underflow threshold )

(13) Symmetric matrix with random entries chosen from (-1,1).
(14) Same as (13), but multiplied by SQRT( overflow threshold )
(15) Same as (13), but multiplied by SQRT( underflow threshold )
(16) Same as (8), but diagonal elements are all positive.
(17) Same as (9), but diagonal elements are all positive.
(18) Same as (10), but diagonal elements are all positive.
(19) Same as (16), but multiplied by SQRT( overflow threshold )
(20) Same as (16), but multiplied by SQRT( underflow threshold )
(21) A diagonally dominant tridiagonal matrix with geometrically
     spaced diagonal entries 1, ..., ULP.

Arguments

NSIZES
(input) INTEGER
The number of sizes of matrices to use.  If it is zero,
DCHKST does nothing.  It must be at least zero.
NN
(input) INTEGER array, dimension (NSIZES)
An array containing the sizes to be used for the matrices.
Zero values will be skipped.  The values must be at least
zero.
NTYPES
(input) INTEGER
The number of elements in DOTYPE.   If it is zero, DCHKST
does nothing.  It must be at least zero.  If it is MAXTYP+1
and NSIZES is 1, then an additional type, MAXTYP+1 is
defined, which is to use whatever matrix is in A.  This
is only useful if DOTYPE(1:MAXTYP) is .FALSE. and
DOTYPE(MAXTYP+1) is .TRUE. .
DOTYPE
(input) LOGICAL array, dimension (NTYPES)
If DOTYPE(j) is .TRUE., then for each size in NN a
matrix of that size and of type j will be generated.
If NTYPES is smaller than the maximum number of types
defined (PARAMETER MAXTYP), then types NTYPES+1 through
MAXTYP will not be generated.  If NTYPES is larger
than MAXTYP, DOTYPE(MAXTYP+1) through DOTYPE(NTYPES)
will be ignored.
ISEED
(input/output) INTEGER array, dimension (4)
On entry ISEED specifies the seed of the random number
generator. The array elements should be between 0 and 4095;
if not they will be reduced mod 4096.  Also, ISEED(4) must
be odd.  The random number generator uses a linear
congruential sequence limited to small integers, and so
should produce machine independent random numbers. The
values of ISEED are changed on exit, and can be used in the
next call to DCHKST to continue the same random number
sequence.
THRESH
(input) DOUBLE PRECISION
A test will count as "failed" if the "error", computed as
described above, exceeds THRESH.  Note that the error
is scaled to be O(1), so THRESH should be a reasonably
small multiple of 1, e.g., 10 or 100.  In particular,
it should not depend on the precision (single vs. double)
or the size of the matrix.  It must be at least zero.
NOUNIT
(input) INTEGER
The FORTRAN unit number for printing out error messages
(e.g., if a routine returns IINFO not equal to 0.)
A
(input/workspace/output) DOUBLE PRECISION array of
                        dimension ( LDA , max(NN) )
Used to hold the matrix whose eigenvalues are to be
computed.  On exit, A contains the last matrix actually
used.
LDA
(input) INTEGER
The leading dimension of A.  It must be at
least 1 and at least max( NN ).
AP
(workspace) DOUBLE PRECISION array of
            dimension( max(NN)*max(NN+1)/2 )
The matrix A stored in packed format.
SD
(workspace/output) DOUBLE PRECISION array of
                   dimension( max(NN) )
The diagonal of the tridiagonal matrix computed by DSYTRD.
On exit, SD and SE contain the tridiagonal form of the
matrix in A.
SE
(workspace/output) DOUBLE PRECISION array of
                   dimension( max(NN) )
The off-diagonal of the tridiagonal matrix computed by
DSYTRD.  On exit, SD and SE contain the tridiagonal form of
the matrix in A.
D1
(workspace/output) DOUBLE PRECISION array of
                   dimension( max(NN) )
The eigenvalues of A, as computed by DSTEQR simlutaneously
with Z.  On exit, the eigenvalues in D1 correspond with the
matrix in A.
D2
(workspace/output) DOUBLE PRECISION array of
                   dimension( max(NN) )
The eigenvalues of A, as computed by DSTEQR if Z is not
computed.  On exit, the eigenvalues in D2 correspond with
the matrix in A.
D3
(workspace/output) DOUBLE PRECISION array of
                   dimension( max(NN) )
The eigenvalues of A, as computed by DSTERF.  On exit, the
eigenvalues in D3 correspond with the matrix in A.
U
(workspace/output) DOUBLE PRECISION array of
                   dimension( LDU, max(NN) ).
The orthogonal matrix computed by DSYTRD + DORGTR.
LDU
(input) INTEGER
The leading dimension of U, Z, and V.  It must be at least 1
and at least max( NN ).
V
(workspace/output) DOUBLE PRECISION array of
                   dimension( LDU, max(NN) ).
The Housholder vectors computed by DSYTRD in reducing A to
tridiagonal form.  The vectors computed with UPLO='U' are
in the upper triangle, and the vectors computed with UPLO='L'
are in the lower triangle.  (As described in DSYTRD, the
sub- and superdiagonal are not set to 1, although the
true Householder vector has a 1 in that position.  The
routines that use V, such as DORGTR, set those entries to
1 before using them, and then restore them later.)
VP
(workspace) DOUBLE PRECISION array of
            dimension( max(NN)*max(NN+1)/2 )
The matrix V stored in packed format.
TAU
(workspace/output) DOUBLE PRECISION array of
                   dimension( max(NN) )
The Householder factors computed by DSYTRD in reducing A
to tridiagonal form.
Z
(workspace/output) DOUBLE PRECISION array of
                   dimension( LDU, max(NN) ).
The orthogonal matrix of eigenvectors computed by DSTEQR,
DPTEQR, and DSTEIN.
WORK
(workspace/output) DOUBLE PRECISION array of
            dimension( LWORK )
LWORK
(input) INTEGER
The number of entries in WORK.  This must be at least
1 + 4 * Nmax + 2 * Nmax * lg Nmax + 3 * Nmax**2
where Nmax = max( NN(j), 2 ) and lg = log base 2.
IWORK
(workspace/output) INTEGER array,
   dimension (6 + 6*Nmax + 5 * Nmax * lg Nmax )
where Nmax = max( NN(j), 2 ) and lg = log base 2.
Workspace.
RESULT
(output) DOUBLE PRECISION array, dimension (26)
The values computed by the tests described above.
The values are currently limited to 1/ulp, to avoid
overflow.
INFO
(output) INTEGER
If 0, then everything ran OK.
 -1: NSIZES < 0
 -2: Some NN(j) < 0
 -3: NTYPES < 0
 -5: THRESH < 0
 -9: LDA < 1 or LDA < NMAX, where NMAX is max( NN(j) ).
-23: LDU < 1 or LDU < NMAX.
-29: LWORK too small.
If  DLATMR, SLATMS, DSYTRD, DORGTR, DSTEQR, SSTERF,
    or DORMC2 returns an error code, the
    absolute value of it is returned.

*-----------------------------------------------------------------------

Some Local Variables and Parameters:
ZERO, ONE       Real 0 and 1.
MAXTYP          The number of types defined.
NTEST           The number of tests performed, or which can
             be performed so far, for the current matrix.
NTESTT          The total number of tests performed so far.
NBLOCK          Blocksize as returned by ENVIR.
NMAX            Largest value in NN.
NMATS           The number of matrices generated so far.
NERRS           The number of tests which have exceeded THRESH
             so far.
COND, IMODE     Values to be passed to the matrix generators.
ANORM           Norm of A; passed to matrix generators.

OVFL, UNFL      Overflow and underflow thresholds.
ULP, ULPINV     Finest relative precision and its inverse.
RTOVFL, RTUNFL  Square roots of the previous 2 values.
     The following four arrays decode JTYPE:
KTYPE(j)        The general type (1-10) for type "j".
KMODE(j)        The MODE value to be passed to the matrix
             generator for type "j".
KMAGN(j)        The order of magnitude ( O(1),
             O(overflow^(1/2) ), O(underflow^(1/2) )

Call Graph

Caller Graph