1
       2
       3
       4
       5
       6
       7
       8
       9
      10
      11
      12
      13
      14
      15
      16
      17
      18
      19
      20
      21
      22
      23
      24
      25
      26
      27
      28
      29
      30
      31
      32
      33
      34
      35
      36
      37
      38
      39
      40
      41
      42
      43
      44
      45
      46
      47
      48
      49
      50
      51
      52
      53
      54
      55
      56
      57
      58
      59
      60
      61
      62
      63
      64
      65
      66
      67
      68
      69
      70
      71
      72
      73
      74
      75
      76
      77
      78
      79
      80
      81
      82
      83
      84
      85
      86
      87
      88
      89
      90
      91
      92
      93
      94
      95
      96
      97
      98
      99
     100
     101
     102
     103
     104
     105
     106
     107
     108
     109
     110
     111
     112
     113
     114
     115
     116
     117
     118
     119
     120
     121
     122
     123
     124
     125
     126
     127
     128
     129
     130
     131
     132
     133
     134
     135
     136
     137
     138
     139
     140
     141
     142
     143
     144
     145
     146
     147
     148
     149
     150
     151
     152
     153
     154
     155
     156
     157
     158
     159
     160
     161
     162
     163
     164
     165
     166
     167
     168
     169
     170
     171
     172
     173
     174
     175
     176
     177
     178
     179
     180
     181
     182
     183
     184
     185
     186
     187
     188
     189
     190
     191
     192
     193
     194
     195
     196
     197
     198
     199
     200
     201
     202
     203
     204
     205
     206
     207
     208
     209
     210
     211
     212
     213
     214
     215
     216
     217
     218
     219
     220
     221
     222
     223
     224
     225
     226
     227
     228
     229
     230
     231
     232
     233
     234
     235
     236
     237
     238
     239
     240
     241
     242
     243
     244
     245
     246
     247
     248
     249
     250
     251
     252
     253
     254
     255
     256
     257
     258
     259
     260
     261
     262
     263
     264
     265
     266
     267
     268
     269
     270
     271
     272
     273
     274
     275
     276
     277
     278
     279
     280
     281
     282
     283
     284
     285
     286
     287
     288
     289
     290
     291
     292
     293
     294
     295
     296
     297
     298
     299
     300
     301
     302
     303
      SUBROUTINE DGET52LEFTNALDABLDBELDEALPHAR,
     $                   ALPHAIBETAWORKRESULT )
*
*  -- LAPACK test routine (version 3.1) --
*     Univ. of Tennessee, Univ. of California Berkeley and NAG Ltd..
*     November 2006
*
*     .. Scalar Arguments ..
      LOGICAL            LEFT
      INTEGER            LDALDBLDEN
*     ..
*     .. Array Arguments ..
      DOUBLE PRECISION   ALDA* ), ALPHAI* ), ALPHAR* ),
     $                   BLDB* ), BETA* ), ELDE* ),
     $                   RESULT2 ), WORK* )
*     ..
*
*  Purpose
*  =======
*
*  DGET52  does an eigenvector check for the generalized eigenvalue
*  problem.
*
*  The basic test for right eigenvectors is:
*
*                            | b(j) A E(j) -  a(j) B E(j) |
*          RESULT(1) = max   -------------------------------
*                       j    n ulp max( |b(j) A|, |a(j) B| )
*
*  using the 1-norm.  Here, a(j)/b(j) = w is the j-th generalized
*  eigenvalue of A - w B, or, equivalently, b(j)/a(j) = m is the j-th
*  generalized eigenvalue of m A - B.
*
*  For real eigenvalues, the test is straightforward.  For complex
*  eigenvalues, E(j) and a(j) are complex, represented by
*  Er(j) + i*Ei(j) and ar(j) + i*ai(j), resp., so the test for that
*  eigenvector becomes
*
*                  max( |Wr|, |Wi| )
*      --------------------------------------------
*      n ulp max( |b(j) A|, (|ar(j)|+|ai(j)|) |B| )
*
*  where
*
*      Wr = b(j) A Er(j) - ar(j) B Er(j) + ai(j) B Ei(j)
*
*      Wi = b(j) A Ei(j) - ai(j) B Er(j) - ar(j) B Ei(j)
*
*                          T   T  _
*  For left eigenvectors, A , B , a, and b  are used.
*
*  DGET52 also tests the normalization of E.  Each eigenvector is
*  supposed to be normalized so that the maximum "absolute value"
*  of its elements is 1, where in this case, "absolute value"
*  of a complex value x is  |Re(x)| + |Im(x)| ; let us call this
*  maximum "absolute value" norm of a vector v  M(v).
*  if a(j)=b(j)=0, then the eigenvector is set to be the jth coordinate
*  vector.  The normalization test is:
*
*          RESULT(2) =      max       | M(v(j)) - 1 | / ( n ulp )
*                     eigenvectors v(j)
*
*  Arguments
*  =========
*
*  LEFT    (input) LOGICAL
*          =.TRUE.:  The eigenvectors in the columns of E are assumed
*                    to be *left* eigenvectors.
*          =.FALSE.: The eigenvectors in the columns of E are assumed
*                    to be *right* eigenvectors.
*
*  N       (input) INTEGER
*          The size of the matrices.  If it is zero, DGET52 does
*          nothing.  It must be at least zero.
*
*  A       (input) DOUBLE PRECISION array, dimension (LDA, N)
*          The matrix A.
*
*  LDA     (input) INTEGER
*          The leading dimension of A.  It must be at least 1
*          and at least N.
*
*  B       (input) DOUBLE PRECISION array, dimension (LDB, N)
*          The matrix B.
*
*  LDB     (input) INTEGER
*          The leading dimension of B.  It must be at least 1
*          and at least N.
*
*  E       (input) DOUBLE PRECISION array, dimension (LDE, N)
*          The matrix of eigenvectors.  It must be O( 1 ).  Complex
*          eigenvalues and eigenvectors always come in pairs, the
*          eigenvalue and its conjugate being stored in adjacent
*          elements of ALPHAR, ALPHAI, and BETA.  Thus, if a(j)/b(j)
*          and a(j+1)/b(j+1) are a complex conjugate pair of
*          generalized eigenvalues, then E(,j) contains the real part
*          of the eigenvector and E(,j+1) contains the imaginary part.
*          Note that whether E(,j) is a real eigenvector or part of a
*          complex one is specified by whether ALPHAI(j) is zero or not.
*
*  LDE     (input) INTEGER
*          The leading dimension of E.  It must be at least 1 and at
*          least N.
*
*  ALPHAR  (input) DOUBLE PRECISION array, dimension (N)
*          The real parts of the values a(j) as described above, which,
*          along with b(j), define the generalized eigenvalues.
*          Complex eigenvalues always come in complex conjugate pairs
*          a(j)/b(j) and a(j+1)/b(j+1), which are stored in adjacent
*          elements in ALPHAR, ALPHAI, and BETA.  Thus, if the j-th
*          and (j+1)-st eigenvalues form a pair, ALPHAR(j+1)/BETA(j+1)
*          is assumed to be equal to ALPHAR(j)/BETA(j).
*
*  ALPHAI  (input) DOUBLE PRECISION array, dimension (N)
*          The imaginary parts of the values a(j) as described above,
*          which, along with b(j), define the generalized eigenvalues.
*          If ALPHAI(j)=0, then the eigenvalue is real, otherwise it
*          is part of a complex conjugate pair.  Complex eigenvalues
*          always come in complex conjugate pairs a(j)/b(j) and
*          a(j+1)/b(j+1), which are stored in adjacent elements in
*          ALPHAR, ALPHAI, and BETA.  Thus, if the j-th and (j+1)-st
*          eigenvalues form a pair, ALPHAI(j+1)/BETA(j+1) is assumed to
*          be equal to  -ALPHAI(j)/BETA(j).  Also, nonzero values in
*          ALPHAI are assumed to always come in adjacent pairs.
*
*  BETA    (input) DOUBLE PRECISION array, dimension (N)
*          The values b(j) as described above, which, along with a(j),
*          define the generalized eigenvalues.
*
*  WORK    (workspace) DOUBLE PRECISION array, dimension (N**2+N)
*
*  RESULT  (output) DOUBLE PRECISION array, dimension (2)
*          The values computed by the test described above.  If A E or
*          B E is likely to overflow, then RESULT(1:2) is set to
*          10 / ulp.
*
*  =====================================================================
*
*     .. Parameters ..
      DOUBLE PRECISION   ZEROONETEN
      PARAMETER          ( ZERO = 0.0D0ONE = 1.0D0TEN = 10.0D0 )
*     ..
*     .. Local Scalars ..
      LOGICAL            ILCPLX
      CHARACTER          NORMABTRANS
      INTEGER            JJVEC
      DOUBLE PRECISION   ABMAXACOEFALFMAXANORMBCOEFIBCOEFR,
     $                   BETMAXBNORMENORMENRMERERRNRMSAFMAX,
     $                   SAFMINSALFISALFRSBETASCALETEMP1ULP
*     ..
*     .. External Functions ..
      DOUBLE PRECISION   DLAMCHDLANGE
      EXTERNAL           DLAMCHDLANGE
*     ..
*     .. External Subroutines ..
      EXTERNAL           DGEMV
*     ..
*     .. Intrinsic Functions ..
      INTRINSIC          ABSDBLEMAX
*     ..
*     .. Executable Statements ..
*
      RESULT1 ) = ZERO
      RESULT2 ) = ZERO
      IFN.LE.0 )
     $   RETURN
*
      SAFMIN = DLAMCH'Safe minimum' )
      SAFMAX = ONE / SAFMIN
      ULP = DLAMCH'Epsilon' )*DLAMCH'Base' )
*
      IFLEFT ) THEN
         TRANS = 'T'
         NORMAB = 'I'
      ELSE
         TRANS = 'N'
         NORMAB = 'O'
      END IF
*
*     Norm of A, B, and E:
*
      ANORM = MAXDLANGENORMABNNALDAWORK ), SAFMIN )
      BNORM = MAXDLANGENORMABNNBLDBWORK ), SAFMIN )
      ENORM = MAXDLANGE'O'NNELDEWORK ), ULP )
      ALFMAX = SAFMAX / MAXONEBNORM )
      BETMAX = SAFMAX / MAXONEANORM )
*
*     Compute error matrix.
*     Column i = ( b(i) A - a(i) B ) E(i) / max( |a(i) B| |b(i) A| )
*
      ILCPLX = .FALSE.
      DO 10 JVEC = 1N
         IFILCPLX ) THEN
*
*           2nd Eigenvalue/-vector of pair -- do nothing
*
            ILCPLX = .FALSE.
         ELSE
            SALFR = ALPHARJVEC )
            SALFI = ALPHAIJVEC )
            SBETA = BETAJVEC )
            IFSALFI.EQ.ZERO ) THEN
*
*              Real eigenvalue and -vector
*
               ABMAX = MAXABSSALFR ), ABSSBETA ) )
               IFABSSALFR ).GT.ALFMAX .OR. ABSSBETA ).GT.
     $             BETMAX .OR. ABMAX.LT.ONE ) THEN
                  SCALE = ONE / MAXABMAXSAFMIN )
                  SALFR = SCALE*SALFR
                  SBETA = SCALE*SBETA
               END IF
               SCALE = ONE / MAXABSSALFR )*BNORM,
     $                 ABSSBETA )*ANORMSAFMIN )
               ACOEF = SCALE*SBETA
               BCOEFR = SCALE*SALFR
               CALL DGEMVTRANSNNACOEFALDAE1JVEC ), 1,
     $                     ZEROWORKN*JVEC-1 )+1 ), 1 )
               CALL DGEMVTRANSNN-BCOEFRBLDAE1JVEC ),
     $                     1ONEWORKN*JVEC-1 )+1 ), 1 )
            ELSE
*
*              Complex conjugate pair
*
               ILCPLX = .TRUE.
               IFJVEC.EQ.N ) THEN
                  RESULT1 ) = TEN / ULP
                  RETURN
               END IF
               ABMAX = MAXABSSALFR )+ABSSALFI ), ABSSBETA ) )
               IFABSSALFR )+ABSSALFI ).GT.ALFMAX .OR.
     $             ABSSBETA ).GT.BETMAX .OR. ABMAX.LT.ONE ) THEN
                  SCALE = ONE / MAXABMAXSAFMIN )
                  SALFR = SCALE*SALFR
                  SALFI = SCALE*SALFI
                  SBETA = SCALE*SBETA
               END IF
               SCALE = ONE / MAX( ( ABSSALFR )+ABSSALFI ) )*BNORM,
     $                 ABSSBETA )*ANORMSAFMIN )
               ACOEF = SCALE*SBETA
               BCOEFR = SCALE*SALFR
               BCOEFI = SCALE*SALFI
               IFLEFT ) THEN
                  BCOEFI = -BCOEFI
               END IF
*
               CALL DGEMVTRANSNNACOEFALDAE1JVEC ), 1,
     $                     ZEROWORKN*JVEC-1 )+1 ), 1 )
               CALL DGEMVTRANSNN-BCOEFRBLDAE1JVEC ),
     $                     1ONEWORKN*JVEC-1 )+1 ), 1 )
               CALL DGEMVTRANSNNBCOEFIBLDAE1JVEC+1 ),
     $                     1ONEWORKN*JVEC-1 )+1 ), 1 )
*
               CALL DGEMVTRANSNNACOEFALDAE1JVEC+1 ),
     $                     1ZEROWORKN*JVEC+1 ), 1 )
               CALL DGEMVTRANSNN-BCOEFIBLDAE1JVEC ),
     $                     1ONEWORKN*JVEC+1 ), 1 )
               CALL DGEMVTRANSNN-BCOEFRBLDAE1JVEC+1 ),
     $                     1ONEWORKN*JVEC+1 ), 1 )
            END IF
         END IF
   10 CONTINUE
*
      ERRNRM = DLANGE'One'NNWORKNWORKN**2+1 ) ) / ENORM
*
*     Compute RESULT(1)
*
      RESULT1 ) = ERRNRM / ULP
*
*     Normalization of E:
*
      ENRMER = ZERO
      ILCPLX = .FALSE.
      DO 40 JVEC = 1N
         IFILCPLX ) THEN
            ILCPLX = .FALSE.
         ELSE
            TEMP1 = ZERO
            IFALPHAIJVEC ).EQ.ZERO ) THEN
               DO 20 J = 1N
                  TEMP1 = MAXTEMP1ABSEJJVEC ) ) )
   20          CONTINUE
               ENRMER = MAXENRMERTEMP1-ONE )
            ELSE
               ILCPLX = .TRUE.
               DO 30 J = 1N
                  TEMP1 = MAXTEMP1ABSEJJVEC ) )+
     $                    ABSEJJVEC+1 ) ) )
   30          CONTINUE
               ENRMER = MAXENRMERTEMP1-ONE )
            END IF
         END IF
   40 CONTINUE
*
*     Compute RESULT(2) : the normalization error in E.
*
      RESULT2 ) = ENRMER / ( DBLEN )*ULP )
*
      RETURN
*
*     End of DGET52
*
      END