Äquivalenz

Zwei Formeln F₁ und F₂ mit jeweils n Variablen v₁, ···, v_n können als äquivalent betrachtet werden, falls A(F₁) = A(F₂) für alle 2ⁿ möglichen Belegungen der Variablen v₁, ···, v_n.

Beispiel: A((A) => B) = A(¬ (B) => ¬ (A))
Der Nachweis kann durch die Verwendung von Wahrheitstafeln durchgeführt werden.

Alle Formeln mit n Variablen können entsprechend dieser Äquivalenzrelation in Äquivalenzklassen einsortiert werden.

Wieviel Äquivalenzklassen kann es geben? Die Obergrenze ergibt sich durch die kombinatorische Vielfalt aller Wahrheitstabellen. Eine Wahrheitstabelle für n Variablen hat 2ⁿ Einträge und diese können alle jeweils mit TRUE oder FALSE belegt werden. Das ergibt dann 2^2ⁿ verschiedene Ausprägungen.

Wenn die Grundoperatoren geschickt ausgewählt werden (wie hier mit ¬ und =>), dann kann für jede denkbare Wahrheitstabelle auch eine Formel angegeben werden.

Bei n = 2 erhalten wir 2^2ⁿ = 2⁴ = 16 verschiedene Wahrheitstabellen.