Verteilungsfunktion; absolutstetige Zufallsvariable

Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum und $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable.

Definition 3.5

$\;$ Die Funktion $F_{X}:\mathbb{R}\rightarrow [0,1]$ mit $F_{X}(x)= P (X\leq x)$ heißt Verteilungsfunktion von $X$.

Eigenschaften von Verteilungsfunktionen

 

1. Asymptotisches Verhalten im Unendlichen: $F_X(-\infty )=\underset {x\rightarrow -\infty }{\lim }F_X(x)=0\,,\quad F_X(\infty )=\underset {x\rightarrow \infty }{\lim }F_X(x)=1$
2. Monotonie: $F_X(x)\leq F_X(x+h)\qquad\forall x\in \mathbb{R}\textrm{ und }h\geq 0$
3. Rechtsstetigkeit: $F_X(x)$ ist rechtsseitig stetig, d.h. für jede Folge $\left\{ h_{n}\right\}$ mit $h_{n}\geq 0$ und $\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }h_{n}=0$ gilt
   $$\underset {n\rightarrow \infty }{\lim }F_X(x+h_{n}) =F_X(x)\qquad\forall x\in \mathbb{R}\,.$$

Beachte

 

1. Mit Hilfe der Verteilungsfunktion $F_{X}$ lassen sich auch die folgenden Wahrscheinlichkeiten ausdrücken
   $$P(a\leq X\leq b),\quad P(a<X\leq b),\quad P(a<X<b),\quad P(a\leq X<b),$$
   denn es gilt beispielsweise
   

   $$P(a\leq X\leq b) = P(\{X\leq b\}\setminus\{ X<a\})$$

   $$= P(X\leq b)-P(X<a)$$

   $$= F_X(b)-\underset{h\downarrow 0}{\lim}F_X(a-h)\,.$$

   
   

2. Im allgemeinen gilt jedoch nicht $F(a)=\underset{h\downarrow 0}{\lim}F_X(a-h)$.
3. Für die Verteilungsfunktion $F_{X}$ einer diskreten Zufallsvariable $X$ gilt für jedes $x\in\mathbb{R}$:
   

   $$F_{X}(x) = P(X\leq x)$$

   $$= P\Bigl(\bigcup\limits_{k:\, x_{k}\leq x} \{ X=x_{k}\} \Bigr)$$

   $$= \sum\limits_{k:\, x_{k}\leq x} P( X=x_{k})$$

   $$= \sum\limits _{k:\,x_{k}\leq x}p_k\,,$$

   
   
   wobei $p_k=P(X=x_k)$.
4. Die Verteilungsfunktion $F_{X}$ einer diskreten Zufallsvariablen $X$ ist eine sogenannte Treppenfunktion, d.h. eine stückweise konstante Funktion mit der Sprunghöhe $p_k$ im Punkt $x_k$.

Definition 3.6

$\;$ Die Zufallsvariable $X:\Omega\to\mathbb{R}$ (bzw. ihre Verteilung) heißt absolutstetig, falls die Verteilungsfunktion $F_X$ von $X$ die folgende Integraldarstellung

$$F_{X}(x)=\int\limits _{-\infty }^{x}f_X(y)\, dy\qquad \forall x\in\mathbb{R}$$ (3)

besitzt, wobei $f_X:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ eine (integrierbare) Funktion mit nichtnegativen Werten ist, die Dichte (bzw. Wahrscheinlichkeitsdichte) von $X$ genannt wird.

Beachte

 

1. Die Verteilungsfunktion $F_X$ (und damit auch die Verteilung $P_X$) einer absolutstetigen Zufallsgröße $X$ wird eindeutig durch die Dichte $f_X$ bestimmt.
2. Bei vielen Anwendungen ist die Dichte $f_X$ eine (zumindest stückweise) stetige Funktion. Das Integral in der Definitionsgleichung (3) ist dann ein gewöhnliches Riemann-Integral.
3. Falls $X$ absolutstetig ist, dann hat die Verteilungsfunktion $F_X$ keine Sprünge, d.h., $F_{X}$ ist eine (im üblichen Sinne) stetige Funktion. Hieraus folgt insbesondere, daß

   $$P(X=x)=0 \qquad\forall x\in\mathbb{R}\,.$$ (4)

   
   
   Beweis von (4).$\;$ Es gilt
   

   $$P(X=x) = \lim _{h\downarrow 0}P(x-h<X\leq x+h) =\lim _{h\downarrow 0}(P(X\leq x+h)-P(X\leq x-h))$$

   $$= \lim _{h\downarrow 0}( F_{X}(x+h)-F_{X}(x-h)) =\lim _{h\downarrow 0}F_{X}(x+h)-\lim _{h\downarrow 0}F_{X}(x-h)$$

   $$= F_{X}(x)-F_{X}(x)=0\,.$$

   
   

4. Die Verteilungsfunktion $F_X$ einer absolutstetigen Zufallsvariablen $X$ ist jedoch im allgemeinen nicht überall differenzierbar. Und zwar ist $F_X$ dort nicht differenzierbar, wo die Dichte $f_X$ Sprungstellen hat.

Beispiele

$\;$ Um die Verteilung einer absolutstetigen Zufallsvariable $X$ zu beschreiben, genügt es, die Dichte $f_X$ zu betrachten, weil durch $f_X$ die Verteilungsfunktion $F_X$ und damit auch die Verteilung $P_X$ von $X$ eindeutig bestimmt wird.

1. Normalverteilung N $(\mu,\sigma^2)$ mit den Parametern $\mu\in\mathbb{R}$ und $\sigma^2>0$:

   $$f_X(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }} \exp \left(\displaystyle-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}\right)\qquad\forall x\in\mathbb{R}$$ (5)

   
   
   Spezialfall: Standardnormalverteilung N$(0,1)$. Dann nimmt die Dichte $f_X(x)$ in (5) die folgende Form an:

   $$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(\displaystyle -\frac{x^{2}}{2}\right)\qquad\forall x\in\mathbb{R}$$ (6)

   
   

2. Exponentialverteilung Exp$(\lambda)$ mit Parameter $\lambda>0$:
   $$f_X(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x}, & \mbox{falls $x\geq 0$}\\ 0\,, & \mbox{falls $x<0$} \end{array}\right.$$

3. Gleichverteilung U$(a,b)$ mit den Parametern $a,b\in\mathbb{R}$, wobei $a<b$:
   $$f_X(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\displaystyle \frac{1}{b-a}\;, & \mbox{falls $a\leq x\leq b$}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$

Beachte

 

• Absolutstetige Verteilungen treten oft als (asymptotische) Näherungslösungen beim Übergang zu Grenzwerten auf.
• So läßt sich beispielsweise die Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ durch die Standardnormalverteilung approximieren, falls $n$ groß ist. Denn für beliebige $p\in(0,1)$ und $a,b\in\mathbb{R}$ mit $a<b$ gilt

  $$\lim_{n\to\infty}P\Bigl(a<\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le b\Bigr) =P(a<X\le b)\,,$$ (7)

  
  
  wobei $X_n$ binomialverteilt (mit den Parametern $n$ und $p$) und $X$ standardnormalverteilt ist.
• Dies ist der sogenannte zentrale Grenzwertsatz von DeMoivre-Laplace. Weitere Grenzwertsätze werden in Abschnitt 4 der Vorlesung diskutiert.
• Wenn für die Schranken $a$ und $b$ in (7)
  $$a=\frac{k-1-np}{\sqrt{n\,p(1-p)}}$$   und$$\qquad b=\frac{k-np}{\sqrt{n\,p(1-p)}}$$
  eingesetzt wird, dann ergibt sich aus (7), daß für große $n$
  

  $$P(X_n=k) \approx P\Bigl(\frac{k-1-np}{\sqrt{n\,p(1-p)}}<X\le \frac{k-np}{\sqrt{n\,p(1-p)}}\Bigr)$$

  $$\approx \frac{1}{\sqrt{n\,p(1-p)}}\; f_X\Bigl(\frac{k-np}{\sqrt{n\,p(1-p)}}\Bigr)$$

  
  
  für jedes $k=0,1,\ldots,n$, wobei $f_X$ die in (6) gegebene Dichte der Standardnormalverteilung ist.
• Die Näherungsformel

  $$P(X_n=k) \approx \frac{1}{\sqrt{n\,p(1-p)}}\; f_X\Bigl(\frac{k-np}{\sqrt{n\,p(1-p)}}\Bigr)$$ (8)

  
  
  wird im Internet durch zahlreiche JAVA-Applets illustriert, vgl. beispielsweise
  http://medweb.uni-muenster.de/institute/imib/lehre/skripte/biomathe/binorm.html
  wobei in diesem Applet die rechte Seite von (8) durch eine blaue Kurve dargestellt wird (und das Symbol $N$ anstelle von $n$ benutzt wird).