next up previous contents
Next: Endliche Wahrscheinlichkeitsräume Up: Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Previous: Ereignissysteme   Contents


Wahrscheinlichkeitsmaße

Gegeben sei ein Meßraum $ (\Omega ,\mathcal{F})$. Betrachten eine Mengenfunktion, d.h. eine Abbildung $ P:\mathcal{F}\rightarrow[0,1]$, die jeder Menge $ A\in\mathcal{F}$ eine Zahl $ P(A)\in[0,1]$ zuordnet. Dann heißt $ P(A)$ Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $ A\in\mathcal{F}$.

Definition 2.9
$ \;$ Die Mengenfunktion $ P:\mathcal{F}\rightarrow[0,1]$ heißt Wahrscheinlichkeitsmaß auf $ \mathcal{F}$, falls
(P1)
$ P(\Omega )=1$ (,,Normiertheit'')
(P2)
$ P( \bigcup\limits _{i=1}^{\infty }A_{i}) =\sum\limits _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$ für paarweise disjunkte $ A_{1},A_{2},\ldots \in \mathcal{F}$ (,,$ \sigma$-Additivität'')
Falls $ (\Omega ,\mathcal{F})$ ein Meßraum und $ P$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $ \mathcal{F}$ ist, dann heißt das Tripel $ (\Omega ,\mathcal{F},P)$ Wahrscheinlichkeitsraum.

Theorem 2.10
$ \;$ Sei $ (\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $ A, A_{1}, A_{2},\ldots \in \mathcal{F}$. Dann gilt
  1. $ P\left( A^{c}\right) =1-P(A)$
  2. $ A_{1}\subset A_{2}\Rightarrow P(A_{1})\leq P(A_{2})$
  3. $ P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})-P(A_{1}\cap A_{2})$
  4. $ P( \bigcup\limits ^{n}_{i=1}A_{i}) \leq
\sum\limits ^{n}_{i=1}P(A_{i})$
Beweis
 
  1. $ 1=P(\Omega )=P\left( A\cup A^{c}\right) =P(A)+P\left( A^{c}\right)$
  2. $ P(A_{2})=P\left( A_{1}\cup \left( A_{2}\setminus A_{1}\right) \right)
=P(A_{1})+\underbrace{P(A_{2}\setminus A_{1})}_{\geq 0}\Rightarrow
P(A_{2})\geq P(A_{1})$
  3. Wegen $ A_1\cup A_2=(A_1\setminus(A_2\cap A_1))\cup(A_1\cap
A_2)\cup (A_2\setminus(A_1\cap A_2))$ gilt
    $ P(A_1\cup A_2)=P(A_1\setminus(A_2\cap A_1))+P(A_1\cap
A_2)+P(A_2\setminus(A_1\cap A_2))$.
    Weil $ P(A\setminus B)=P(A)-P(B)$ für $ A,B\in\mathcal{F}$ mit $ A\supset B$ gilt, folgt hieraus die Behauptung.
  4. Übungsaufgabe



Roland Maier 2001-08-20