Ereignissysteme

Aus gegebenen Ereignissen $A_1,A_2,\ldots$ kann man durch deren ,,Verknüpfung'' weitere Ereignisse bilden. Dies wird durch die folgenden Mengenoperationen modelliert.

Definition 2.3

 

1. Vereinigungsmenge$\;$ $A_{1}\cup A_{2}$: Menge aller Elemente, die zu $A_{1}$ oder $A_{2}$ gehören.
   $\bigcup\limits ^{\infty }_{i=1}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots$: Menge aller Elemente, die zu mindestens einer der Mengen $A_{i}$ gehören.
2. Schnittmenge $A_{1}\cap A_{2}$: Menge aller Elemente, die zu $A_{1}$ und $A_{2}$ gehören.
   $\bigcap\limits ^{\infty }_{i=1}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots$: Menge aller Elemente, die zu jeder der Mengen $A_{i}$ gehören.
3. Differenzmenge $A_{1}\setminus A_{2}$: Menge aller Elemente von $A_{1}$, die nicht zu $A_{2}$ gehören.
   Spezialfall: $\; A^{c}=\Omega \setminus A$ ( Komplement)

Beispiel

$\;$ Sei $\Omega =\{a,b,c,d\},A_{1}=\{a,b,c\},A_{2}=\{b,d\}$.
Dann gilt $A_{1}\cup A_{2}=\{a,b,c,d\};\; A_{1}\cap A_{2}=\{b\};\; A_{1}\setminus A_{2}=\{a,c\};\; A_1^{c}=\{d\}$.

Beachte

 

1. Das Ereignis $A_1\cup A_2$ tritt genau dann ein, wenn $A_1$ oder $A_2$ oder beide eintreten.
2. Das Ereignis $A_1\cap A_2$ tritt genau dann ein, wenn $A_1$ und $A_2$ eintreten.
3. Das Ereignis $A_1\setminus A_2$ tritt genau dann ein, wenn $A_1$ eintritt und $A_2$ nicht eintritt.

Lemma 2.4

$\;$ Für beliebige Mengen $A_1,A_2\subset \Omega$ gilt: $A_1\setminus A_2 =A_1\cap A_2^{c}$.

Beweis

$\;$ klar

Definition 2.5

$\;$ Die Mengen $A_{1},A_{2},\ldots \subset \Omega$ heißen paarweise disjunkt, falls $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ für beliebige $i\neq j$.

Bemerkung

$\;$ Jede beliebige Folge von Mengen $A_{1},A_{2},\ldots \subset \Omega$ kann man in eine Folge von paarweise disjunkten Mengen $A_{1}',A_{2}',\ldots$ überführen: Sei $A_{1}'=A_{1}, A_{2}'=A_{2}\setminus A_{1}', A_{3}'=A_{3}\setminus (A_{1}'\cup A_{2}'),\ldots$
Dann gilt: $A_i'\cap A_j'=\emptyset$ für $i\not= j$, und $\bigcup\limits ^{\infty }_{n=1}A_{n}=\bigcup\limits _{n=1}^{\infty }A_{n}'$

Weitere Eigenschaften

$\;$ Sei $A,B,C\subset \Omega$.

1. Eindeutigkeitsgesetze:$\;$ $A\cup \emptyset =A,A\cap \emptyset =\emptyset ,A\cup \Omega =\Omega ,A\cap \Omega =A$
   (allgemein: falls $A\subset B$, dann gilt $A\cap B=A,A\cup B=B$)
2. de Morgansche Gesetze: $\;$ $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c},(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$
3. Assoziativ-Gesetze: $\;$ $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C,A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
4. Distributiv-Gesetze: $\;$ $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

Es ist oft nicht zweckmäßig, alle möglichen Teilmengen von $\Omega$ in die Modellierung einzubeziehen, sondern man betrachtet nur die Familie derjenigen Teilmengen von $\Omega$, deren Wahrscheinlichkeiten tatsächlich von Interesse sind. Diese Mengenfamilie soll jedoch abgeschlossen sein bezüglich der Operationen $\cup,\cap,\setminus$, was durch die folgende Begriffsbildung erreicht wird.

Definition 2.6

$\;$ Eine nichtleere Familie $\mathcal{F}$ von Teilmengen von $\Omega$ heißt Algebra, falls

(A1)

$A\in \mathcal{F}\Rightarrow A^{c}\in \mathcal{F}$

(A2)

$A_{1},A_{2}\in \mathcal{F}\Rightarrow A_{1}\cup A_{2}\in \mathcal{F}$

Beispiel

$\;$ $\Omega =\{a,b,c,d\},\;\mathcal{F}_1=\left\{ \emptyset ,\{a\},\{b,c,d\},\Omega \right\}$ ist eine Algebra, $\mathcal{F}_2=\left\{ \emptyset,\{a\},\{b,c\},\Omega \right\}$ ist dagegen keine Algebra.

Lemma 2.7

$\;$ Sei $\mathcal{F}$ eine Algebra und $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in \mathcal{F}.$ Dann gilt

1. $\emptyset ,\Omega \in \mathcal{F}$
2. $A_{1}\cap A_{2}\in \mathcal{F}$
3. $A_{1}\setminus A_{2}\in \mathcal{F}$
4. $\bigcup\limits _{i=1}^{n}A_{i}\in \mathcal{F},\bigcap\limits _{i=1}^{n}A_{i}\in \mathcal{F}$

Beweis

 

1. Weil $\mathcal{F}$ nicht leer, gibt es ein $A\in \mathcal{F},A\subset \Omega$. Also gilt $A^{c}\in \mathcal{F}$ wegen (A1) bzw.
   $\underbrace{A\cup A^{c}}_{=\Omega }\in\mathcal{F}$ wegen (A2) bzw. $\underbrace{\Omega ^{c}}_{=\emptyset }\in \mathcal{F}$ wegen (A1)
2. $A_{1}\cap A_{2}=\left( A^{c}_{1}\cup A^{c}_{2}\right) ^{c}\in \mathcal{F}$
3. $A_{1}\setminus A_{2}=A_{1}\cap A^{c}_{2}=(A^{c}_{1}\cup A_{2})^{c}\in \mathcal{F}$
4. Induktion

Um Grenzwerte bilden zu können, ist es erforderlich, daß das Mengensystem $\mathcal{F}$ nicht nur abgeschlossen ist bezüglich Vereinigung bzw. Durchschnitt von endlich vielen Mengen (vgl. Teilaussage 4 von Lemma 2.7), sondern auch bezüglich Vereinigung bzw. Durchschnitt von abzählbar unendlich vielen Mengen. Dies wird durch die Hinzunahme der folgenden Bedingung erreicht.

Definition 2.8

$\;$ Eine Algebra $\mathcal{F}$ heißt $\sigma$-Algebra, falls zusätzlich

(A3)

$\;$ $A_{1},A_{2},\ldots \in \mathcal{F}\, \Rightarrow \bigcup\limits _{i=1}^{\infty }A_{i}\in \mathcal{F}$ gilt.

Beachte

 

1. Das Paar $(\Omega ,\mathcal{F})$ heißt Meßraum, falls $\mathcal{F}$ eine $\sigma$-Algebra ist.
2. Sei $\Omega=\mathbb{N}$, und sei $\mathcal{F}$ die Familie derjenigen Teilmengen $A$ von $\mathbb{N}$, so daß entweder $A$ oder $A^c$ nur endlich viele Elemente hat. Das Mengensystem $\mathcal{F}$ ist eine Algebra, jedoch keine $\sigma$-Algebra.
3. Für jedes $\Omega$ ist die Potenzmenge $\mathcal{P}$, d.h. die Familie aller Teilmengen von $\Omega$, stets eine $\sigma$-Algebra.
4. Falls $\Omega$ endlich oder abzählbar unendlich ist, kann $\mathcal{F}=\mathcal{P}$ gewählt werden. Falls $\Omega$ nicht abzählbar ist (z.B. $\Omega =\mathbb{R}$ oder $\Omega =[0,1]),$ dann muß eine kleinere $\sigma$-Algebra betrachtet werden (nicht $\mathcal{P}$), vgl. Abschnitt 3.1.