Um in Abschnitt 2.3.5 die Frage untersuchen zu können,
unter welchen Bedingungen erwartungstreue Schätzer mit minimaler
Varianz existieren und wie man solche Schätzer gewinnen kann,
benötigen wir noch eine weitere Eigenschaft von Punktschätzern.
Definition
Sei
eine beliebige Stichprobenfunktion.
Der Schätzer
für heißt
vollständig, falls für jede meßbare Funktion
aus
der Gültigkeit von
und
stets folgt, daß
für
jedes
.
Lemma 2.4
Für jede meßbare Funktion
und für jede
meßbare Abbildung
ist der Schätzer
für
vollständig, falls
diese Eigenschaft
besitzt.
Der Beweis von Lemma 2.4 ergibt sich
unmittelbar aus der Definition der Vollständigkeit.
Beachte
Für einige Verteilungsfamilien
ergibt sich die Vollständigkeit
von Punktschätzern direkt aus der Definition dieses Begriffes,
ohne daß weitere analytische Hilfsmittel erforderlich sind.
Beispiele
Bernoulli-verteilte Stichprobenvariablen
Es gelte
Bin
.
Zur Erinnerung: In Abschnitt 2.3.3 hatten wir gezeigt,
daß
und damit auch
suffiziente
Schätzer für sind.
Wir zeigen nun, daß
und damit (wegen
Lemma 2.4) auch
vollständige
Schätzer für sind.
Sei
eine Funktion, so daß
für jedes
.
Dann gilt für jedes
und damit für jedes
Hieraus folgt, daß jeder Koeffizient des Polynoms auf der rechten
Seite dieser Gleichung Null sein muß, d.h.
Poisson-verteilte Stichprobenvariablen
Es gelte
Poi
.
Dann ist
für vollständig, denn
es gilt Poi
, vgl. Übungsaufgabe WR-5.4, und
somit gilt
bzw. äquivalent hierzu
genau dann, wenn für jedes
.
Zur Erinnerung: In Abschnitt 2.3.3 hatten wir außerdem
mit Hilfe des Faktorisierungssatzes von Neyman-Fisher
(vgl.Theorem 2.3) gezeigt, daß
auch suffizient für ist.
Gleichverteilte Stichprobenvariablen
Es gelte
U
,
d.h., die Stichprobenvariablen
sind
gleichverteilt über dem Intervall
, wobei
ein unbekannte Zahl ist.
Wir zeigen nun, daß
ein vollständiger
Schätzer für ist.
Für einige Verteilungsfamilien
ergibt sich die Vollständigkeit
von Punktschätzern nicht direkt aus der Definition dieses
Begriffes, sondern es sind zusätzliche analytische Hilfsmittel
erforderlich.
Insbesondere ist der folgende Eindeutigkeitssatz für die
Laplace-Transformation von -endlichen Maßen nützlich.
Dabei setzen wir voraus, daß und daß
ein
(offenes) Intervall ist.
Lemma 2.5
Seien und zwei -endliche Maße über
. Falls die Integrale
(42)
existieren (und endlich sind) und falls
für jedes
, dann gilt .
Beweis
Wir nehmen zunächst an, daß
für ein .
Dann gilt insbesondere
d.h., und sind endliche Maße.
Wir können deshalb o.B.d.A. annehmen, daß und
Wahrscheinlichkeitsmaße sind.
Außerdem kann man die Funktionen
der komplexen Variablen definieren, die dann in dem
Teilgebiet
der komplexen Ebene
holomorph sind.
Weil
für jedes mit
und , gilt diese
Gleichung wegen des Identitätssatzes für holomorphe Funktionen
(vgl. Abschnitt 8.1 in R. Remmert (1992) Funktionentheorie
1, Springer, Berlin)
wegen der eindeutigen Fortsetzbarkeit auch für jedes
aus
.
Insbesondere gilt somit
(43)
Wegen des Eindeutigkeitssatzes für charakteristische Funktionen
(vgl. Korollar WR-5.5) ergibt sich nun aus (43),
daß .
Falls es kein gibt, so daß
, dann
betrachten wir die (endlichen) Maße
mit
für ein
.
Dann gibt es ein , so daß
die Bedingungen des
Lemmas für alle
erfüllen.
Aus dem ersten Teil des Beweises folgt somit, daß
.
Auf die gleiche Weise ergibt sich nun hieraus, daß
.
Beispiele
Exponentialverteilte Stichprobenvariablen
Es gelte
Exp
. Dann ist
Erlang-verteilt mit der Dichte
Hieraus folgt, daß nicht nur ein suffizienter Schätzer (vgl.
Abschnitt 2.3.3), sondern auch ein vollständiger
Schätzer für ist, denn es gilt
genau dann, wenn
(44)
wobei
und
.
Weil dabei
vorausgesetzt wird, sind
mit
und
zwei -endliche Maße
und gegeben.
Wegen Lemma 2.5 gilt somit (44) genau
dann, wenn , d.h.,
bzw. für fast
jedes
.
Normalverteilte Stichprobenvariablen
Es gelte
N
,
wobei die Varianz
bekannt sei.
Wir zeigen, daß
ein vollständiger Schätzer für
ist.
Weil
N
, gilt somit
Hieraus folgt, daß
genau dann, wenn
Hieraus und aus Lemma 2.5 ergibt sich nun (genauso
wie in dem vorhergehenden Beispiel exponentialverteilter
Stichprobenvariablen), daß diese genau dann gilt, wenn
für fast jedes
.