F-Verteilung

Wir führen nun noch eine weitere Klasse von statistischen Prüfverteilungen ein: die Klasse der F-Verteilungen, die zum Beispiel bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen für Zwei-Stichproben-Probleme benötigt werden; vgl. Abschnitt 3.3.

Definition

 

• Seien $r,s\ge 1$ beliebige natürliche Zahlen, und seien $U_r,\, U_s^\prime:\Omega\to(0,\infty)$ unabgängige $\chi ^2$-verteilte Zufallsvariablen mit $U_r\sim\chi_r^2$ und $U_s^\prime\sim\chi_s^2$.
• Man sagt dann, daß die Zufallsvariable
  $$W_{r,s}= \frac{U_r/r}{U_s^\prime/s}$$
  F-verteilt ist mit $(r,s)$ Freiheitsgraden. (Schreibweise: $W_{r,s}\sim$ F$_{r,s}$)

Theorem 3.1   Seien $r,s\ge 1$ beliebige natürliche Zahlen, und sei $W_{r,s}$ eine F-verteilte Zufallsvariable mit $(r,s)$ Freiheitsgraden. Dann ist die Dichte von $W_{r,s}$ gegeben durch

$$f_{W_{r,s}}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{\disp... ...{(r+s)/2}}\;, & \mbox{falls $x>0$,}\\ 0 & \mbox{sonst,} \end{array}\right.$$ (8)

wobei $\Gamma(1)=1$, $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ und $\Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p)$.

Beweis

 

• Aus Theorem 1.6 ergibt sich für die Dichten der $\chi ^2$-verteilten Zufallsvariablen mit $U_r$ und $U_s^\prime$, daß
  $$f_{U_r}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{x^{(r-2)/2... ...amma(r/2)}\,, & \mbox{falls $x>0$,}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$
  und
  $$f_{U_s^\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{x^... ...mma(s/2)}\,, & \mbox{falls $x>0$,}\\ 0 & \mbox{sonst.} \end{array}\right.$$

• Hieraus folgt, daß

  $$f_{U_r/r}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{r(rx)^{... ...\Gamma(r/2)}\,, & \mbox{falls $x>0$,}\\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$ (9)

  
  
  und

  $$f_{U_s^\prime/s}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{... ...Gamma(s/2)}\,, & \mbox{falls $x>0$,}\\ 0 & \mbox{sonst.} \end{array}\right.$$ (10)

  
  

• Wegen Theorem WR-3.17 gilt außerdem für die Dichte $f_{W_{r,s}}$ des Quoienten $W_{r,s}$ der unabhängigen Zufallsvariablen $U_r/r$ und $U_s^\prime/s$, daß
  $$f_{W_{r,s}}(z)=\int\limits_{-\infty}^\infty\vert t\vert f_{U_r/r}(zt)f_{U_s^\prime/s}(t)\, dt\,,\qquad\forall\, z\in\mathbb{R}\,.$$

• Durch Einsetzen von (9) und (10) ergibt sich somit, daß für $z>0$
  

  $$f_{W_{r,s}}(z) = \int\limits_0^\infty t\;\displaystyle \frac{r(zrt)^{(r-2)/2} e^{-... .../2)}\;\displaystyle \frac{s(st)^{(s-2)/2} e^{-st/2}}{2^{s/2}\,\Gamma(s/2)}\, dt$$

  $$= \frac{r^{r/2}s^{s/2}z^{r/2-1}}{2^{(r+s)/2}\Gamma(r/2)\Gamma(s/2)}\;\int\limits_0^\infty t^{(r+s)/2-1}\;e^{-(rz+s)t/2}\,dt$$

  $$= \frac{r^{r/2}s^{s/2}z^{r/2-1}}{2^{(r+s)/2}\Gamma(r/2)\Gamma(s/2)}\; \frac{\Gamma((r+s)/2)}{\bigl((rz/2)+(s/2)\bigr)^{(r+s)/2}}$$

  $$= \frac{\displaystyle\Gamma\Bigl(\frac{r+s}{2}\Bigr)}{\displaystyle... ...2}\;\frac{z^{(r/2)-1}}{\Bigl(1 +\displaystyle\frac{r}{s}\;z\Bigr)^{(r+s)/2}}\;,$$

  
  
  wobei sich die vorletzte Gleichheit aus der in Abschnitt 1.3.1 hergeleiteten Darstellungsformel (1.24) für die Gammafunktion ergibt, gemäß der für beliebige $b,p>0$
  $$\Gamma(p)=b^p\int\limits_0^\infty\, e^{-by} \, y^{p-1}\, dy\,.$$
  
   
    $\Box$
  
  
  

Beachte

 

• Seien $r,s\ge 1$ beliebige natürliche Zahlen, und sei $\alpha\in(0,1)$.
• Falls $W_{r,s}\sim$ F$_{r,s}$, dann wird die Lösung $F_{r,s,\alpha}$ der Gleichung $F_{W_{r,s}}(F_{r,s,\alpha})=\alpha$ das $\alpha$-Quantil der F-Verteilung mit $(r,s)$ Freiheitsgraden genannt, vgl. die Tabellen 4a-4f in Abschnitt 5.