Fehlerwahrscheinlichkeiten

Beim Testen von Hypothesen können zwei Arten von Fehlern auftreten:

• Die Nullhypothese kann abgelehnt werden, obwohl sie ,,richtig´´ ist, und es ist möglich, daß
• die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie ,,falsch´´ ist.

Dies führt zu den folgenden Begriffsbildungen.

Definition

 

• Für jedes $F\in\Delta_0$ heißt
  $$\alpha_n(F)=P_F(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=1)\qquad \Bigl(=P_F((X_1,\ldots,X_n)\in K)\Bigr)$$
  die Wahrscheinlichkeit für Fehler erster Art, und
• für jedes $F\in\Delta_1$ heißt
  $$\beta_n(F)=P_F(\varphi(X_1,\ldots,X_n)=0)\qquad \Bigl(=P_F((X_1,\ldots,X_n)\not\in K)\Bigr)$$
  die Wahrscheinlichkeit für Fehler zweiter Art.

Beachte

$\;$

• Die Wahrscheinlichkeit $\alpha_n(F)$ für Fehler erster Art, ist die Wahrscheinlichkeit, daß Daten $x_1,\ldots,x_n$ beobachtet werden, die zur Ablehnung der Nullhypothese $H_0: F\in\Delta_0$ führen, obwohl die Daten $x_1,\ldots,x_n$ gemäß der Verteilungsfunktion $F\in\Delta_0$ (beispielsweise mittels Computer-Simulation) erzeugt wurden.
• Analog hierzu ist $\beta_n(F)$ die Wahrscheinlichkeit, daß Daten $x_1,\ldots,x_n$ beobachtet werden, die nicht zur Ablehnung der Nullhypothese $H_0: F\in\Delta_0$ führen, obwohl die Daten $x_1,\ldots,x_n$ gemäß der Verteilungsfunktion $F\in\Delta_1$ generiert worden sind.

Von besonderem Interesse sind Tests, deren

• Wahrscheinlichkeiten für Fehler erster Art eine vorgegebene ,,Irrtumswahrscheinlichkeit'' $\alpha$ nicht überschreiten und für die gleichzeitig
• die Wahrscheinlichkeiten für Fehler zweiter Art möglichst klein sind.