Test der Gleichheit von Varianzen

Wir testen nun die Gleichheit zweier Varianzen bei unbekannten Erwartungswerten.

• Wir nehmen an, daß $X_{1i}\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2)$ und $X_{2i}\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2)$ für (unbekannte) $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ und (unbekannte) $\sigma_1^2,\sigma_2^2>0$.
• Dabei soll die Hypothese $H_0: \sigma^2_1=\sigma^2_2$ (gegen die Alternative $H_1:\sigma^2_1\not=\sigma^2_2$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2):\,\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R},\, \sigma_1^2,\sigma_2^2>0\}$ mit
  $$\Theta_0=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2):\,\sigma_1^2=\sigma_2^2\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2):\,\sigma_1^2\not=\sigma_2^2\}$$

• Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^{2n}\to[0,\infty)$ mit

  $$T(x_1,\ldots,x_n)=\frac{s^2_{2n_2}}{s^2_{1n_1}}\;,$$ (17)

  
  
  wobei
  $$s^2_{i\,n_i}=\frac{1}{n_i-1}\sum\limits _{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\overline x_{in_i})^2\,\qquad i=1,2\,.$$

• Für $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ gilt dann
     $$\mbox{$T(X_1,\ldots,X_n)\sim$ F$_{n_2-1,n_1-1}\,.$}$$$$$$

• Mit den Schwellenwerten $c_1=F_{n_2-1,n_1-1,\alpha/2}$ und $c_2=F_{n_2-1,n_1-1,1-\alpha/2}$ gilt also
  $$P_{(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2)}\bigl( F_{n_2-1,n_1-1,\alpha/2}\le T(X_1,\ldots,X_n)\le F_{n_2-1,n_1-1,1-\alpha/2}\bigr)=1-\alpha$$
  für alle $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ und für alle $\sigma_1^2,\sigma_2^2>0$ mit $\sigma_1^2=\sigma_2^2$.
• Die Hypothese $H_0:\sigma^2_1=\sigma_2^2$ wird somit abgelehnt, falls
  $$T(x_1,\ldots,x_n)<F_{n_2-1,n_1-1,\alpha/2}$$   oder$$\qquad T(x_1,\ldots,x_n)>F_{n_2-1,n_1-1,1-\alpha/2}\,.$$