Randomisierte Parametertests

• Die Idee eines randomisierten Tests besteht darin, daß die Entscheidung, ob die Nullhypothese verworfen wird oder ob sie nicht verworfen wird, nicht nur von den beobachteten Daten $x_1,\ldots,x_n$ abhängt.
• Mit anderen Worten: Zur Entscheidungsfindung wird ein zusätzliches Bernoulli-Experiment durchgeführt, dessen ,,Erfolgswahrscheinlichkeit'' von den beobachteten Daten $x_1,\ldots,x_n$ abhängt.

Die Familie $\Delta$ der insgesamt in Betracht gezogenen Verteilungen der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ sei eine parametrische Familie $\Delta=\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ von Verteilungen, wobei wir den Parameterraum $\Theta$ (bzw. eine Teilmenge von $\Theta$) so wie bisher in zwei (nichtleere) disjunkte Mengen $\Theta_0,\Theta_1$ zerlegen und die Hypothesen

$$H_0: \theta\in\Theta_0$$   bzw.$$\qquad H_1: \theta\in\Theta_1$$

betrachten.

Definition

 

• Sei $\alpha\in(0,1)$ eine beliebige, jedoch vorgegebene Zahl.
• Die Borel-meßbare Stichprobenfunktion $\varphi:\mathbb{R}^n\to[0,1]$ heißt randomisierter Parametertest zum Niveau $\alpha$, falls

  $${\mathbb{E}\,}_\theta\varphi(X_1,\ldots,X_n)\le\alpha\,,\quad\forall\, \theta\in\Theta_0\,.$$ (22)

  
  

• Seien $\varphi:\mathbb{R}^n\to[0,1]$ und $\varphi^\prime:\mathbb{R}^n\to[0,1]$ zwei randomisierte Parametertests zum Niveau $\alpha$. Falls die Macht von $\varphi^\prime$ größer ist als die Macht von $\varphi$, d.h.

  $${\mathbb{E}\,}_\theta\varphi(X_1,\ld... ...\,}_\theta\varphi^\prime(X_1,\ldots,X_n)\,,\quad\forall\, \theta\in\Theta_1\,,$$ (23)

  
  
  dann sagt man, daß der Test $\varphi^\prime$ besser als der Test $\varphi$ ist.
• Sei $\mathcal{C}(\alpha)$ eine Familie von (randomisierten) Tests zum Nivieau $\alpha$. Falls $\varphi^*\in\mathcal{C}(\alpha)$ und

  $${\mathbb{E}\,}_\theta\varphi(X_1,\ld... ...ots,X_n)\,,\quad\forall\, \theta\in\Theta_1,\,\varphi\in\mathcal{C}(\alpha)\,,$$ (24)

  
  
  dann sagt man, daß der Test $\varphi^*$ gleichmäßig bester Test in $\mathcal{C}(\alpha)$ ist.

(Sprechweise: UMP-Test = uniformly most powerful test)

Beachte

 

• Falls $\varphi(x_1,\ldots,x_n)=1$, dann wird die Nullhypothese $H_0$ (wie bisher) verworfen. Falls $\varphi(x_1,\ldots,x_n)=0$, dann wird die Nullhypothese $H_0$ nicht verworfen.
• Falls jedoch $0<\varphi(x_1,\ldots,x_n)<1$, dann wird ein zusätzliches Bernoulli-Experiment durchgeführt, das mit Wahrscheinlichkeit $\varphi(x_1,\ldots,x_n)$ zur Ablehnung von $H_0$ führt, d.h., es wird eine Zufallsvariable $Y\sim$ Bin$(1,p)$ mit $p=\varphi(x_1,\ldots,x_n)$ betrachtet, wobei $H_0$ abgelehnt wird, falls $Y=1$.
• Entsprechend heißen die Mengen
  $$\{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n:\varphi(x_1,\ldots,x_n)=1\}$$    bzw.$$\quad \{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n:0<\varphi(x_1,\ldots,x_n)<1\}$$
  Ablehnungsbereich bzw. Randomisierungsbereich.