Neyman-Pearson-Tests

• In diesem Abschnitt (und auch in den nachfolgenden Abschnitten 4.5.3 - 4.5.5) nehmen wir an, daß sowohl die Null-Hypothese $H_0$ als auch die Alternativ-Hypothese $H_1$ einfache Hypothesen sind, d.h., für zwei beliebige, jedoch vorgegebene Parameterwerte $\theta_0,\theta_1\in\Theta$ mit $\theta_0\not=\theta_1$ gelte
  $$H_0:\theta=\theta_0$$   bzw.$$\qquad H_1:\theta=\theta_1\,.$$

• Die Familie $\Delta=\{P_\theta,\theta\in\Theta\}$ bestehe entweder nur aus diskreten Verteilungen oder nur aus absolutstetigen Verteilungen, wobei $P_\theta\not=P_{\theta^\prime}$ genau dann, wenn $\theta\not=\theta^\prime$.
• Die Menge $B=\{x\in\mathbb{R}:\, L(x;\theta)>0\}$ hänge nicht von $\theta\in\Theta$ ab, wobei die Likelihood-Funktion $L(x;\theta)$ gegeben ist durch
  $$L(x;\theta)=\left\{\begin{array}{ll} p(x;\theta) & \mbox{im diskr... ... Fall,}\\ f(x;\theta) & \mbox{im absolutstetigen Fall} \end{array}\right.$$
  und $p(x;\theta)$ bzw. $f(x;\theta)$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Dichte von $P_\theta$ ist.
• Für jedes $n=1,2,\ldots$ benutzen wir die abkürzende Schreibweise
  $$L_i(x)=L(x_1;\theta_i)\cdot\ldots\cdot L(x_n;\theta_i)\,,$$
  wobei $i=0,1$ und $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$.

Definition

$\;$ Der Test $\varphi:\mathbb{R}^n\to[0,1]$ heißt Neyman-Pearson-Test (kurz: NP-Test), falls es eine Zahl $a\ge 0$ gibt, so daß

$$\varphi(x)=\varphi_a(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1\,, &\mbox{fall... ...L_1(x)=aL_0(x)$,}\\ 0\,, &\mbox{falls $L_1(x)<aL_0(x)$} \end{array}\right.$$ (25)

für ein $q\in[0,1]$.

Beachte

 

• Wenn wir die in (25) gegebene Stichprobenfunktion mit $\varphi_a$ bezeichnen, dann ist

  $${\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\varphi_a(X_1,\ldots,X_n) = P_{\theta_0... ...aL_0(x)\bigr) +q\,P_{\theta_0}\bigl(x\in\mathbb{R}^n:\,L_1(x)=aL_0(x)\bigr)\,.$$ (26)

  
  

• Manchmal ist es zweckmäßiger, anstelle der Definitionsgleichung (25) den Ansatz

  $$\varphi_a^\prime(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1\,, &\mbox{falls $... ...,, &\mbox{falls $T(x)=a$,}\\ 0\,, &\mbox{falls $T(x)<a$} \end{array}\right.$$ (27)

  
  
  zu betrachten, wobei $T(x)$ der Likelihood-Quotient ist mit

  $$T(x)=\left\{\begin{array}{ll} L_1(x)/L_0(x)\,,&\mbox{falls $L_0(x)>0$\,,}\\ \infty\,,&\mbox{falls $L_0(x)=0$\,.} \end{array}\right.$$ (28)

  
  

• Weil die Werte der Stichprobenfunktionen $\varphi_a$ und $\varphi_a^\prime$ sowohl $P_{\theta_0}$-fast sicher als auch $P_{\theta_1}$-fast sicher übereinstimmen, können (und werden) wir $\varphi_a$ und $\varphi_a^\prime$ identifizieren.
• Mit Hilfe von (27) läßt sich (26) wie folgt schreiben:

  $${\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\varphi_a(X_1,\ldots,X_n) = P_{\theta_0... ...b{R}^n:\,T(x)>a\bigr) +q\,P_{\theta_0}\bigl(x\in\mathbb{R}^n:\,T(x)=a\bigr)\,.$$ (29)

  
  

Wir zeigen nun zunächst, daß jeder NP-Test zugleich bester Test ist.

Theorem 4.1   Seien $a\ge 0$ und $q\in[0,1]$ beliebige, jedoch fest vorgegebene Zahlen. Falls die Stichprobenfunktion $\varphi_a:\mathbb{R}^n\to[0,1]$ durch $(\ref{ney.pea.tes})$ gegeben ist, dann ist $\varphi_a$ bester Test zum Niveau $\alpha={\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\varphi_a(X_1,\ldots,X_n)$.

Beweis

 

• Sei $\varphi:\mathbb{R}^n\to[0,1]$ ein beliebiger randomisierter Test zum Niveau $\alpha$, d.h. ${\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\varphi(X_1,\ldots,X_n)\le\alpha$.
• Zu zeigen ist, daß

  $${\mathbb{E}\,}_{\theta_1}\varphi_a(X_1,\ldots,X_n)\ge{\mathbb{E}\,}_{\theta_1}\varphi(X_1,\ldots,X_n)\,.$$ (30)

  
  

• Mit der Schreibweise
  $$\begin{array}{c} M_>=\{x\in\mathbb{R}^n:\,\varphi_a(x)>\va... ...==\{x\in\mathbb{R}^n:\,\varphi_a(x)=\varphi(x)\} \end{array}$$
  ergeben sich die Implikationen
  $$x\in M_> \Longrightarrow \varphi_a(x)>0\Longrightarrow L_1(x)\ge aL_0(x)$$
  und
  $$x\in M_< \Longrightarrow \varphi_a(x)<1\Longrightarrow L_1(x)\le aL_0(x)\,.$$

• Hieraus folgt, daß im absolutstetigen Fall
  

  $${ {\mathbb{E}\,}_{\theta_1}\bigl(\varphi_a(X_1,\ldots,X_n)-\varph... ...igr) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}\bigl(\varphi_a(x)-\varphi(x)\bigr)L_1(x)\,dx}$$

  $$= \int\limits_{M_>}\bigl(\varphi_a(x)-\varphi(x)\bigr)L_1(x)\,dx +\... ...bigr)L_1(x)\,dx +\int\limits_{M_=}\bigl(\varphi_a(x)-\varphi(x)\bigr)L_1(x)\,dx$$

  $$\ge \int\limits_{M_>}\bigl(\varphi_a(x)-\varphi(x)\bigr)a L_0(x)\,dx+\int\limits_{M_<}\bigl(\varphi_a(x)-\varphi(x)\bigr)a L_0(x)\,dx$$

  $$= \int\limits_{\mathbb{R}^n}\bigl(\varphi_a(x)-\varphi(x)\bigr)a L_0(x)\,dx$$

  $$= a{\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\bigl(\varphi_a(X_1,\ldots,X_n)-\varphi(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$$

  $$= a\bigl({\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\varphi_a(X_1,\ldots,X_n)-{\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\varphi(X_1,\ldots,X_n)\bigr)\ge 0\,,$$

  
  
  weil $\alpha={\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\varphi_a(X_1,\ldots,X_n)\ge{\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\varphi(X_1,\ldots,X_n)$.
• Damit ist (30) im absolutstetigen Fall bewiesen. Im diskreten Fall sind lediglich die Integrale der letzten Rechnung durch entsprechende Summen zu ersetzen.
  
  $\Box$

Beachte

$\;$ Aus dem Beweis von Theorem 4.1 ergibt sich darüber hinaus, daß

$$\int\limits_{\mathbb{R}^n}\bigl(\varphi_a(x)-\varphi(x)\bigr)\bigl(L_1(x)-aL_0(x)\bigr)\,dx\ge 0$$ (31)

für jeden NP-Test $\varphi_a$ und für jeden beliebigen (randomisierten) Test $\varphi$ zum Niveau $\alpha={\mathbb{E}\,}_{\theta_0}\varphi_a(X_1,\ldots,X_n)$.