Modellbeschreibung

• Wir betrachten die Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ und $(y_1,\ldots,y_n)$ von Ausprägungen zweier metrisch skalierter Merkmale/Kenngrößen/Variablen $X$ bzw. $Y$, wobei wir $Y$ als Zielvariable und $X$ als Ausgangsvariable deuten.
• Falls der Betrag $\vert\rho_{xy}\vert$ des empirischen Korrelationskoeffizienten der Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ und $(y_1,\ldots,y_n)$ groß ist, dann ist es sinnvoll anzunehmen, dass ein Zusammenhang zwischen den Ausprägungen $y_1,\ldots,y_n$ der Zielvariablen $Y$ und den Ausprägungen $x_1,\ldots,x_n$ der Ausgangsvariablen $X$ besteht.
• Diesen Zusammenhang modellieren wir dann wie folgt:
  • Wir nehmen an, dass es eine Funktion $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ und reelle Zahlen $\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _n$ gibt mit

    $$y_i=\varphi(x_i)+\varepsilon _i\,,\qquad\forall\,i=1,\ldots,n\,.$$ (33)

    
    

  • Dabei gehen wir davon aus, dass sowohl die sogenannte Regressionsfunktion $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ als auch die Störgrößen $\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _n$, durch die beispielsweise Messfehler modelliert werden können, nicht direkt beobachtbar (und somit unbekannt) sind.

  
  

• Beachte 
  • Ein wichtiger Spezialfall liegt vor, wenn die Regressionsfunktion $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ eine lineare Funktion ist, die sogenannte Regressionsgerade, d.h., wenn es reelle Zahlen $\alpha,\beta$ gibt mit

    $$\varphi(x)=\alpha+\beta x\,,\qquad\forall\, x\in\mathbb{R}\,,$$ (34)

    
    
    wobei $\alpha$ die Regressionskonstante und $\beta$ der Regressionskoeffizient genannt wird.
  • Das in (33) betrachtete Modell für den Zusammenhang zwischen den Ausprägungen $y_1,\ldots,y_n$ der Zielvariablen $Y$ und den Ausprägungen $x_1,\ldots,x_n$ der Ausgangsvariablen $X$ wird dann (einfaches) lineares Regressionsmodell genannt.