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Kleinste-Quadrate-Schätzer
- Zur Erinnerung: Bei der Konstruktion von Schätzern für
(reellwertige) Modellparameter geht man wie folgt vor.
- Man betrachtet eine Abbildung
, die den
beobachteten Daten
, d.h. jeder Realisierung
der Zufallsstichprobe
, den
Schätzwert
zuordnet.
- Der zugehörige Schätzer ist dann die (reellwertige)
Zufallsvariable
, die sich
ergibt, wenn die Abbildungen
und
nacheinander ausgeführt werden.
- Zur Vereinfachung der Schreibweise werden wir gelegentlich sowohl
den Schätzer als auch den (aus den jeweils beobachteten Daten
bestimmten) Schätzwert mit
bezeichnen.
- Mit der bereits in Abschnitt 2.5.2 diskutierten
Methode der kleinsten Quadrate erhalten wir die folgenden Schätzer
,
bzw.
für die
Modellparameter , und :
|
(4) |
- und
|
(5) |
- Hieraus ergibt sich für die Erwartungswerte dieser Schätzer, dass
|
(6) |
- d.h., die Modellparameter , bzw. werden
im Mittel durch
,
bzw.
,,richtig'' geschätzt.
- Mit anderen Worten:
,
bzw.
sind sogenannte erwartungstreue Schätzer für ,
bzw. .
- Für die Varianzen der Schätzer
und
gilt:
|
(7) |
- Beachte
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Hendrik Schmidt
2003-07-21