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Anfangsverteilung und Übergangsfunktion

Um den Begriff eines Markow-Prozesses $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ mit stetiger Zeit und mit Werten in der Menge $ E=\{1,2,\ldots,\ell\}$ einzuführen, betrachten wir erneut

Beachte
 
Definition
$ \;$ 
  1. Eine Familie von stochastischen Matrizen $ \{{\mathbf{P}}(h),\ h>0\}$, die den Bedingungen (8) und (9) genügt, wird Matrix-Übergangsfunktion bzw. kurz Übergangsfunktion genannt.
  2. Ein stochastischer Prozess $ \{X_t, t\ge 0\}$ mit Werten in $ E=\{1,2,\ldots,\ell\}$ heißt homogener Markow-Prozess, wenn es eine Übergangsfunktion $ \{{\mathbf{P}}(h),h\ge 0\}$ und eine Wahrscheinlichkeitsfunktion $ {\boldsymbol{\alpha}}$ über $ E$ gibt, so dass

    $\displaystyle P(X_0=i_0,X_{t_1}=i_1,\ldots,X_{t_n}=i_n) =\alpha_{i_0}p_{i_0i_1}(t_1)p_{i_{1}i_2}(t_2-t_{1})\ldots p_{i_{n-1}i_n}(t_n-t_{n-1})\,,$ (10)

    für beliebige $ n=0,1,\ldots,\; i_0,i_1,\ldots,i_n\in E,\; 0\le
t_1\le\ldots \le t_n$ gilt.
  3. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $ {\boldsymbol{\alpha}}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_\ell)^\top$ heißt Anfangsverteilung des Markow-Prozesses $ \{X_t\}$.

Ähnlich wie für Markow-Ketten in Theorem MK-2.1 lässt sich die folgende Charakterisierung von homogenen Markow-Prozessen mit stetiger Zeit herleiten, die wir deshalb ohne Beweis angeben. Das Adjektiv ,,homogen'' werden wir im Folgenden der Kürze wegen weglassen.

Theorem 2.14   Ein stochastischer Prozess $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ mit Werten in $ E=\{1,2,\ldots,\ell\}$ ist genau dann ein Markow-Prozess, wenn es eine Übergangsfunktion $ \{{\mathbf{P}}(h),h\ge 0\}$ gibt, so dass

$\displaystyle P(X_{t_n}=i_n\mid X_{t_{n-1}}=i_{n-1},\ldots,X_{t_1}=i_1,X_0=i_0) = p_{i_{n-1}i_n}(t_n-t_{n-1})$ (11)

für diejenigen $ n\ge 1,\; i_0,i_1,\ldots,i_n\in E$ und $ 0\le
t_1\le\ldots \le t_n$, für die $ P(X_{t_{n-1}}=i_{n-1},\ldots,X_{t_1}=i_1,X_0=i_0)>0$ gilt.

Analog zu Korollar MK-2.1 gilt auch für Markow-Prozesse mit stetiger Zeit die folgende bedingte Unabhängigkeitseigenschaft.

Korollar 2.1   Sei $ \{X_t\}$ ein Markow-Prozess. Dann gilt

$\displaystyle P(X_{t_n}=i_n\mid X_{t_{n-1}}=i_{n-1},\ldots,X_{t_1}=i_1,X_0=i_0) =P(X_{t_n}=i_n\mid X_{t_{n-1}}=i_{n-1})\,,$ (12)

falls $ P(X_{t_{n-1}}=i_{n-1},\ldots,X_{t_1}=i_1,X_0=i_0)>0$.


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Ursa Pantle 2005-07-13