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Filtrationen und Stoppzeiten

Definition
$ \;$ Sei $ (\Omega,\mathcal{F},P)$ ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum.

Beachte
$ \;$ Wir werden stets (o.B.d.A.) voraussetzen, dass die jeweils betrachtete Filtration $ \{\mathcal{F}_t\}$ vollständig ist.

Lemma 3.5   $ \;$ Sei $ \{\mathcal{F}_t,\,t\ge 0\}$ eine rechtsstetige Filtration. Die Zufallsvariable $ T:\Omega\to[0,\infty]$ ist genau dann eine Stoppzeit, wenn

$\displaystyle \{T<t\}\in\mathcal{F}_t\qquad\forall\,t\in[0,\infty)\,.$ (2)

Beweis
$ \;$

Definition
$ \;$ Sei $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ ein stochastischer Prozess über dem Wahrscheinlichkeitsraum $ (\Omega,\mathcal{F},P)$ mit der Filtration $ \{\mathcal{F}_t,\,t\ge 0\}$. Man sagt, dass der Prozess $ \{X_t\}$ adaptiert (bezüglich der Filtration $ \{\mathcal{F}_t\}$) ist, wenn

$\displaystyle \{X_t\in B\}\in\mathcal{F}_t\qquad \forall\,t\ge 0,\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\,.$ (3)

Außerdem heißt die Abbildung $ T_B:\Omega\to[0,\infty]$ mit $ T_B(\omega)=\inf\{t\ge 0:\, X_t(\omega)\in B\}$ die Ersterreichungszeit der Borel-Menge $ B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ durch den Prozess $ \{X_t\}$.

Für ,,càdlàg'' Prozesse, deren Trajektorien mit Wahrscheinlichkeit $ 1$ rechtsstetige Funktionen mit linksseitigen Grenzwerten sind (vgl. Abschnitt 1.4), diskutieren wir nun einige Beispiele von Stoppzeiten.

Theorem 3.6   $ \;$ Sei $ \{\mathcal{F}_t,\,t\ge 0\}$ eine rechtsstetige Filtration und sei $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ ein adaptierter càdlàg Prozess. Für jede offene Menge $ B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ ist dann die Ersterreichungszeit $ T_B$ eine Stoppzeit. Wenn $ B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ eine abgeschlossene Menge ist, dann ist die Abbildung $ \widetilde T_B:\Omega\to[0,\infty]$ mit

$\displaystyle \widetilde T_B(\omega)=\inf\{t\ge0:\,X_t(\omega)\in
B\;\;$oder$\displaystyle \;\; X_{t-}(\omega)\in B\}
$

eine Stoppzeit, wobei $ X_{t-}=\lim_{s\uparrow t}X_s$.


Beweis
$ \;$

Theorem 3.7   $ \;$ Seien $ T,T^\prime:\Omega\to[0,\infty]$ beliebige Stoppzeiten. Dann sind auch $ \min\{T,T^\prime\}$, $ \max\{T,T^\prime\}$, $ T+T^\prime$ bzw. $ \alpha T$ für jedes $ \alpha>1$ Stoppzeiten.

Beweis
$ \;$

Manchmal ist es nützlich, beliebige (nichtnotwendig diskrete) Stoppzeiten durch monotone Folgen von Stoppzeiten zu approximieren, die jeweils nur abzählbar unendlich viele Werte mit positiver Wahrscheinlichkeit annehmen können. Aus dem Beweis des folgenden Theorems ergibt sich, wie eine solche monotone Folge von diskreten Stoppzeiten konstruiert werden kann.

Theorem 3.8   Sei $ T:\Omega\to(0,\infty]$ eine beliebige endliche Stoppzeit über dem Wahrscheinlichkeitsraum $ (\Omega,\mathcal{F},P)$, d.h., es gelte $ P(T<\infty)=1$. Dann gibt es eine Folge $ \{T^{(n)},\,n\ge 1\}$ von diskreten Stoppzeiten, so dass mit Wahrscheinlichkeit $ 1$

$\displaystyle T^{(1)}\ge T^{(2)}\ge \ldots$   und$\displaystyle \qquad \lim_{n\to\infty} T^{(n)}=T\,.$ (4)

Beweis
$ \;$

Korollar 3.2   $ \;$ Sei $ T:\Omega\to[0,\infty]$ eine beliebige endliche Stoppzeit. Der Prozess $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ sei càdlàg und über dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum $ (\Omega,\mathcal{F},P)$ wie $ T$ gegeben. Dann gilt $ \{\omega\in\Omega:\,X_{T(\omega)}(\omega)\in B\}\in \mathcal{F}$ für jedes $ B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$, d.h., die Abbildung $ X_T:\Omega\to\mathbb{R}$ mit

$\displaystyle X_T(\omega)=X_{T(\omega)}(\omega)$ (7)

ist $ (\mathcal{F},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$-messbar.

Beweis
$ \;$


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Ursa Pantle 2005-07-13