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Regularität der Trajektorien

Das folgende Beispiel zeigt, dass der gemäß Theorem 1.1 zu vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsmaßen $ \{P_{t_1,\ldots,t_n}\}$ stets existierende stochastische Prozess, der diese Wahrscheinlichkeitsmaße als endlich-dimensionale Verteilungen hat, im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt ist.

Definition
$ \;$

Ein weiteres Problem besteht darin, dass Teilmengen von $ \Omega=\mathbb{R}^{[0,\infty)}$, die durch Eigenschaften der Trajektorien gegeben sind, im allgemeinen nicht messbar bezüglich der $ \sigma$-Algebra $ \mathcal{F}$ sein müssen, die durch die Zylinder-Mengen in (4) erzeugt wird.

Die im folgenden Kapitel 2 betrachteten klassischen Beispiele von stochastischen Prozessen zeigen jedoch, dass es nicht ausreicht, nur Prozesse mit stetigen Trajektorien zu betrachten.

Theorem 1.2   $ \;$ Sei $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ ein beliebiger reellwertiger Prozess, und sei $ D\subset[0,\infty)$ eine abzählbare Menge, die dicht in $ [0,\infty)$ liegt. Falls
(i)
$ \{X_t\}$ rechtsstetig in Wahrscheinlichkeit ist, d.h., für beliebige $ t\ge 0$ und $ h\downarrow 0$ gilt $ X_{t+h}\stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}X_t$, wobei $ \stackrel{{\rm P}}{\longrightarrow}$ die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit bezeichnet,
(ii)
die Trajektorien von $ \{X_t\}$ für jedes $ t\in D$ mit Wahrscheinlichkeit $ 1$ endliche rechts- und linksseitige Grenzwerte besitzen, d.h., für jedes $ t\in D$ existieren die Grenzwerte $ \lim_{h\downarrow 0} X_{t+h}$ und $ \lim_{h\uparrow 0}
X_{t+h}$ mit Wahrscheinlichkeit $ 1$,
dann gibt es eine Version $ \{Y_t,\,t\ge 0\}$ von $ \{X_t,\,t\ge 0\}$, so dass mit Wahrscheinlichkeit $ 1$
(a)
die Trajektorien von $ \{Y_t\}$ rechtsstetig sind und
(b)
linksseitige Grenzwerte besitzen, d.h., $ \lim_{h\uparrow 0}
Y_{t+h}$ existiert für jedes $ t\ge 0$.

Der Beweis von Theorem 1.2 geht über den Rahmen dieser Vorlesung hinaus und wird deshalb weggelassen; er kann beispielsweise in Breiman (1992), S. 300 nachgelesen werden.


Theorem 1.3   (A.N. Kolmogorow)$ \;$ Sei $ \{X_t,\,t\ge 0\}$ ein beliebiger reellwertiger Prozess, so dass es Konstanten $ a,b>0$ und $ c<\infty$ gibt mit

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}\bigl(\vert X_t-X_s\vert^a\bigr)\le c\,\vert t-s\vert^{1+b}\qquad\forall \,
t,s\ge 0\,.
$

Dann gibt es eine stetige Modifikation von $ \{X_t\}$.

Einen Beweis von Theorem 1.3 kann man zum Beispiel in Krylov (2002), S. 20-21 nachlesen.


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Ursa Pantle 2005-07-13