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Optionales Sampling-Theorem

Für jede endliche Stoppzeit $ T:\Omega\to[0,\infty)$ betrachten wir die $ \sigma$-Algebra $ \mathcal{F}_T$, die gegeben ist durch

$\displaystyle \mathcal{F}_T=\{A\in\mathcal{F}:  A\cap\{T\le t\}\in\mathcal{F}_t\;$$\displaystyle \mbox{für jedes $t\ge 0$}$$\displaystyle  \} ,$ (30)

wobei die folgenden Eigenschaften der ,,gestoppten'' $ \sigma$-Algebra $ \mathcal{F}_T$ nützlich sind.

Lemma 3.9   Für beliebige endliche Stoppzeiten $ S,T:\Omega\to[0,\infty)$ mit $ P(S\le T)=1$ gilt $ \mathcal{F}_S\subset\mathcal{F}_T$. Außerdem gilt für jeden adaptierten càdlàg Prozess $ \{X_t, t\ge 0\}$

$\displaystyle \{\omega\in\Omega: X_T(\omega)\in B\}\in\mathcal{F}_T\qquad\forall  B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) ,$ (31)

d.h., $ X_T$ ist eine $ \bigl(\mathcal{F}_T,\mathcal{B}(\mathbb{R})\bigr)$-messbare Zufallsvariable.

Beweis
$ \;$

Wir kommen nun zum sogenannten optionalen Sampling-Theorem für Martingale bzw. für gestoppte Martingale.

Theorem 3.13   Der Prozess $ \{X_t, t\ge 0\}$ sei adaptiert und càdlàg. Wenn $ \{X_t\}$ ein Martingal und $ T:\Omega\to[0,\infty)$ eine endliche Stoppzeit ist, dann gilt

$\displaystyle {\mathbb{E} }(X_t \mid \mathcal{F}_T) = X_{T\wedge t}\qquad\forall  t\ge 0 .$ (34)

Beweis
$ \;$

Korollar 3.4   $ \;$ Der Prozess $ \{X_t, t\ge 0\}$ sei adaptiert und càdlàg. Wenn $ \{X_t\}$ ein Martingal und $ S,T:\Omega\to[0,\infty)$ beliebige endliche Stoppzeiten mit $ P(S\le T)=1$ sind, dann gilt

$\displaystyle {\mathbb{E} }(X_{T\wedge t} \mid \mathcal{F}_S) = X_{S\wedge t}\qquad\forall  t\ge 0 .$ (36)

Insbesondere gilt

$\displaystyle {\mathbb{E} }X_{T\wedge t}={\mathbb{E} }X_0\qquad\forall t\ge 0 .$ (37)

Beweis
$ \;$


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Jonas Rumpf 2006-07-27