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Beispiele: Tests auf Poisson-Verteilung bzw. Normalverteilung
- -Anpassungstest auf Poisson-Verteilung
-
- Mit Hilfe von Theorem 5.3 soll durch die Beobachtung
der (unabhängigen und identisch verteilten) Zufallsvariablen
zunächst geprüft werden, ob die Verteilung
von zur Familie der Poisson-Verteilungen gehört.
- Sei also
mit
, und sei
die Familie der Poisson-Verteilungen.
- Wir betrachten die folgenden Klassen
und
, d.h.
- Die Wahrscheinlichkeiten
sind dann gegeben durch
und |
(47) |
- Gemäß (33) genügt jeder
Maximum-Likelihood-Schätzer
für , der
aus den gruppierten Daten gewonnen wird, der Gleichung
|
(48) |
- Dabei ergibt sich aus (47), daß
- Hieraus und aus (48) folgt, daß der ML-Schätzer
der folgenden Gleichung genügt:
- Für jedes gibt es ein
, so daß
für jedes . Hieraus folgt, daß für
- Bei einer hinreichend großen Anzahl von Klassen
bildet
also das Stichprobenmittel
, das eine ML-Schätzung
für im ungruppierten Poisson-Modell ist, eine gute
Näherung für die ML-Schätzung
für im
gruppierten Poisson-Modell.
- Die Nullhypothese
wird abgelehnt, falls
wobei
mit der in
(47)) gegebenen Funktion
und der Schätzung
für .
- -Anpassungstest auf Normalverteilung
-
- Beachte
-
- Die Näherungslösung (51) des Gleichungssystems
(50) sollte nur dann verwendet werden, wenn die
Anzahl der Klassen hinreichend groß ist.
- Dies setzt einen hinreichend großen Stichprobenumfang voraus.
- Mit anderen Worten: Falls der Stichprobenumfang klein ist,
dann ist der -Anpassungstest auch aus diesem Grund nicht
geeignet, um die Hypothese der Normalverteiltheit zu verifizieren.
- Ein alternativer Test auf Normalverteilung ist der folgende Shapiro-Wilk-Test, der auch bei kleinem Stichprobenumfang zu
akzeptablen Ergebnissen führt.
- Shapiro-Wilk-Test auf Normalverteilung
-
- Beachte
-
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Ursa Pantle
2003-03-10