Poisson-verteilte Stichprobenvariablen mit natürlicher Linkfunktion

• Die Stichprobenvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$ seien nun Poisson-verteilt, d.h., es gelte $Y_i\sim$ Poi $(\lambda_i)$ mit $0<\lambda_i<\infty$ für jedes $i=1,\ldots,n$.
• Die Poi $(\lambda_i)$-Verteilung gehört ebenfalls zu der Exponentialfamilie, die in Abschnitt 4.1.1 eingeführt worden ist, wobei $\theta_i=\log \lambda_i$.
  • Denn für jedes $y=0,1,\ldots$ gilt
    $$\mathbb{P}_{\theta_i}(Y_i=y)\;=\;\frac{\lambda_i^ye^{-\lambda_i}}... ...p\Bigl(\frac{1}{\tau^2}\;\bigl( y\theta_i+a(y,\tau)-b(\theta_i)\bigr)\Bigr) ,$$

  • wobei
    $$\tau^2=1 ,\qquad a(y)=-\log(y!)$$   und$$\qquad b(\theta_i)=e^{\theta_i} .$$

• Die natürliche Linkfunktion $g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ ist gegeben durch

  $$g(x)=\log x\qquad\forall\; x>0 .$$ (22)