Parametrisches Modell

• Die Verteilungsfunktion $F$ der Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ möge zu einer vorgegebenen (d.h. bekannten) parametrischen Familie von Verteilungsfunktionen $\{F_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ gehören,
• wobei die Menge $\Theta\subset\mathbb{R}^m$ Parameterraum genannt wird und $m\in\mathbb{N}$ eine beliebige, jedoch vorgegebene natürliche Zahl ist.
• Mit anderen Worten: Es gelte $F=F_\theta$ für ein $\theta\in\Theta$, wobei jedoch der Parametervektor $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_m)$ (bzw. ein Teil seiner Komponenten) unbekannt sei und aus den beobachteten Daten $x_1,\ldots,x_n$ geschätzt werden soll.
• Dabei werden wir stets voraussetzen, dass
  • der Parameterraum $\Theta$ eine Borel-Menge ist, d.h., $\Theta\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$.
  • die Parametrisierung $\theta\to F_\theta$ identifizierbar ist, d.h., es gelte $F_{\theta_1}\not= F_{\theta_2}$, falls $\theta_1\not= \theta_2$.

Wir nehmen an, dass der (gemeinsame) Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$, über dem die Stichprobenvariablen $X_1,X_2,\ldots$ definiert sind, der sogenannte kanonische Wahrscheinlichkeitsraum ist, vgl. auch das in Abschnitt WR-4.1.1 diskutierte Beispiel des wiederholten Würfelns. D. h., wir setzen

$$\Omega=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\ldots=\{\omega:\omega= (\omega_1,\omega_2,\ldots),\; \omega_i\in\mathbb{R}\;\;\forall i=1,2,\ldots\}$$

und $\mathcal{F}=\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\ldots$, wobei das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ gegeben ist durch

$$P(\{\omega:\omega\in\Omega, \omega_{i_1}\le x_{i_1},\ldots,\omega_{i_k}\le x_{i_k}\})=F(x_{i_1})\cdot\ldots\cdot F(x_{i_k})\,.$$ (1)

Die Stichprobenvariablen $X_i:\Omega\to\mathbb{R}$ sind gegeben durch $X(\omega)=\omega_i$, d.h. durch die Projektion auf die $i$-te Komponente $\omega_i$ von $\omega$.

Beachte

 

• Das in (1) definierte Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ bezeichnen wir im folgenden mit $P_\theta$, um zu betonen, dass $P$ von dem (unbekannten) Parametervektor $\theta\in\Theta$ abhängt.
• Entsprechend verwenden wir die Bezeichnungen ${\mathbb{E}\,}_\theta$ und ${\rm Var\,}_\theta$ für Erwartungswert bzw. Varianz.
• Falls keine Verwechslung möglich ist, dann bezeichnen wir auch die Verteilung einer (einzelnen) Stichprobenvariablen $X_i$ mit $P_\theta$, d.h. $P_\theta(X_i\le x_i)=P_\theta((-\infty,x_i])=F_\theta(x_i)$.
• Zur Erinnerung: Für jede Borel-messbare Funktion $\,\widehat\theta:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ wird der Zufallsvektor $\,\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ Statistik bzw. zufällige Stichprobenfunktion genannt.
• Bei der Schätzung von Parametern nennt man $\,\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ Punktschätzer für den Parameter $\theta$. Dabei wird meistens vorausgesetzt, dass $P_\theta(\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)\in\Theta)=1$. Manchmal wird jedoch zugelassen, dass die Werte des Schätzers $\,\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ mit einer (kleinen) positiven Wahrscheinlichkeit außerhalb des Parameterraumes $\Theta$ liegen können.

Beispiel

$\;$ Eine der wichtigsten parametrischen Verteilungsfamilien $\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ von Stichprobenvariablen, die in dieser Vorlesung betrachtet werden, ist die Normalverteilungsfamilie $\{$N $(\mu,\sigma^2),\,\mu\in\mathbb{R},\, \sigma^2> 0\}$. In diesem Fall ist $m=2$, $\Theta=\mathbb{R}\times(0,\infty)$ und $\theta=(\theta_1,\theta_2)=(\mu,\sigma^2)$.

Beachte

$\;$ Weitere Beispiele von Familien parametrischer Verteilungen, die bisher in dieser Vorlesung (bzw. in der Vorlesung ,,Wahrscheinlichkeitsrechnung'' des WS 01/02) betrachtet wurden, sind die Familien der

• (diskreten bzw. stetigen) Gleichverteilung,
• Binomialverteilung,
• Poisson-Verteilung,
• Exponentialverteilung,
• $\chi ^2$-Verteilung,
• Gammaverteilung,
• t-Verteilung.