Konfidenzintervalle für Differenzen bzw. Quotienten von Parameterkomponenten

Die Stichprobenvariablen $X_i=(X_{1i},X_{2i})$ seien nun normalverteilte Zufallsvektoren, wobei wir in diesem Abschnitt außerdem voraussetzen, dass die Komponenten $X_{1i}$ und $X_{2i}$ von $X_i$ unabhängige (jedoch im allgemeinen nicht identisch verteilte) Zufallsvariablen sind.

Wir betrachten die folgenden zwei Beispiele.

1. $\;$ Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte (bei bekannten Varianzen) 
   • Für zwei beliebige, jedoch vorgegebene Zahlen $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ betrachten wir zwei unabhängige Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ und $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$.
   • Dabei nehmen wir an, dass $X_{1i}\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2)$ und $X_{2i}\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2)$ für (unbekannte) $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ und (bekannte) $\sigma_1^2,\sigma_2^2>0$, d.h., $\theta=(\mu_1,\mu_2)$.
   • Dann sind die Stichprobenmittel $\overline X_{1n_1}$ und $\overline X_{2n_2}$ unabhängige Zufallsvariablen mit
        $$\mbox{$\overline X_{1n_1}\sim$ N$(\mu_1,\sigma_1^2/n_1)\,,\qquad \overline X_{2n_2}\sim$ N$(\mu_2,\sigma_2^2/n_2)\,,$}$$$$$$
     vgl. Theorem 1.11.
   • Hieraus folgt, dass
        $$\mbox{$\overline X_{1n_1}-\overline X_{2n_2}\sim$ N$\displaystyle\Bigl(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n_1}+ \frac{\sigma_2^2}{n_2}\Bigr)$}$$$$$$
     bzw.
        $$\mbox{$\displaystyle\frac{\overline X_{1n_1}-\overline X_{2n_2}-... ...ystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+ \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim$ N$(0,1)\,.$}$$$$$$

   • Also gilt für jedes $\alpha\in(0,1)$
     $$P_\theta\Bigl(z_{\frac{\alpha}{2}}\leq \frac{\overline X_{1n_1}-... ...2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\Bigr) = 1-\alpha$$
     bzw.
     $$P_\theta\Bigl(\underbrace{\overline X_{1n_1}-\overline X_{2n_2}-... ...rac{\sigma_2^2}{n_2}}}_{ \displaystyle=\overline\theta}\Bigr) = 1-\alpha\,.$$

   • Die auf diese Weise bestimmten Stichprobenfunktionen $\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ und $\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ ergeben ein Konfidenzinterval für $\mu_1-\mu_2$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$.

   
   

2. $\;$ Konfidenzintervall für den Quotienten zweier Varianzen (bei unbekannten Erwartungswerten)
   • Ähnlich wie in dem vohergehenden Beispiel betrachten wir für zwei beliebige, jedoch vorgegebene Zahlen $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ zwei unabhängige Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ und $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$.
   • Dabei nehmen wir an, dass $X_{1i}\sim$ N $(\mu_1,\sigma_1^2)$ und $X_{2i}\sim$ N $(\mu_2,\sigma_2^2)$ für (unbekannte) $\mu_1,\mu_2\in\mathbb{R}$ und (unbekannte) $\sigma_1^2,\sigma_2^2>0$, d.h., $\theta=(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2)$.
   • Dann sind die Stichprobenvarianzen $S^2_{1n_1}$ und $S^2_{2n_2}$ unabhängige Zufallsvariablen und wegen Theorem 1.11 gilt
     $$\frac{(n_1-1)S^2_{1n_1}}{\sigma_1^2}\sim\chi^2_{n_1-1}$$   bzw.$$\qquad \frac{(n_2-1)S^2_{2n_2}}{\sigma_2^2}\sim\chi^2_{n_2-1}\,.$$

   • Hieraus und aus der Definition der F-Verteilung, die in Abschnitt 3.1.3 eingeführt wurde, ergibt sich
        $$\mbox{$\displaystyle\frac{S^2_{2n_2}/\sigma^2_2}{S^2_{1n_1}/\sigma^2_1}\sim$ F$_{n_2-1,n_1-1}$\,.}$$$$$$

   • Also gilt für jedes $\alpha\in(0,1)$
     $$P_\theta\Bigl(F_{n_2-1,n_1-1,\frac{\alpha}{2}}\le \frac{S^2_{2n_... ...{S^2_{1n_1}/\sigma^2_1}\le F_{n_2-1,n_1-1,1-\frac{\alpha}{2}}\Bigr)=1-\alpha$$
     bzw.
     $$P_\theta\Bigl(\underbrace{\frac{S^2_{1n_1}}{S^2_{2n_2}}\, F_{n_2... ..._1-1,1-\frac{\alpha}{2}}}_{\displaystyle=\overline\theta} \Bigr)=1-\alpha\,,$$
     wobei $F_{n_2-1,n_1-1,\gamma}$ das $\gamma$-Quantil der F-Verteilung mit $(n_2-1,n_1-1)$ Freiheitsgraden bezeichnet, vgl. Tabellen 4a-4f.
   • Die auf diese Weise bestimmten Stichprobenfunktionen $\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ und $\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)$ ergeben ein Konfidenzinterval für $\sigma^2_1/\sigma^2_2$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$.