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Verteilung von Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz

Theorem 1.10   Sei $ (X_1,\ldots,X_n)$ eine normalverteilte Zufallsstichprobe mit $ X_i\sim$ N $ (\mu,\sigma^2)$. Dann sind $ \overline X_n$ und $ S_n^2$ unabhängige Zufallsvariablen.


Beweis
 

Theorem 1.11   Sei $ (X_1,\ldots,X_n)$ eine normalverteilte Zufallsstichprobe mit $ X_i\sim$ N $ (\mu,\sigma^2)$ für $ i\in\{1,\ldots,n\}$. Dann gilt

$\displaystyle \mbox{$\overline X_n\sim$\ {\rm N}$(\mu,\sigma^2/n)$}$ (37)

und

$\displaystyle \frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}\,.$ (38)

Beweis
 

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Ursa Pantle 2004-07-14