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Verteilung von Stichprobenmittel und Stichprobenvarianz
Wir bestimmen nun die (gemeinsame) Verteilung des Stichprobenmittels
und der Stichprobenvarianz
bei normalverteilten Stichprobenvariablen
.
Zunächst zeigen wir, dass
und
unabhängig sind.
Theorem 1.10
Sei
eine normalverteilte Zufallsstichprobe mit
N
. Dann sind
und
unabhängige Zufallsvariablen.
Beweis
Zur Erinnerung: Mit der Schreibweise
gilt
und
(34)
Wegen Theorem
1.8
können (und werden) wir deshalb o.B.d.A. voraussetzen, dass
und
, d.h.
N
.
Um die Unabhängigkeit von
und
zu zeigen, nutzen wir die Tatsache, dass sich die Stichprobenvarianz
wie folgt darstellen lässt:
wobei sich die letzte Gleichheit aus der Identität
ergibt.
Die Stichprobenvarianz
ist also eine Funktion des Zufallsvektors
, d.h., es gilt
(35)
wobei
(36)
Wir zeigen nun zunächst, dass der Zufallsvektor
unabhängig von
ist.
Wegen der Unabhängigkeit und N
-Verteiltheit der Stichprobenvariablen
ist die (gemeinsame) Dichte
des Zufallsvektors
gegeben durch
Wir betrachten die lineare Abbildung
mit
Für die Umkehrabbildung
gilt dann für jedes
Für die Jacobi-Determinante der Abbildung
bzw. der Umkehrabbildung
gilt
für jedes
bzw.
für jedes
.
Aus Theorem
1.9
ergibt sich somit für die Dichte
des Zufallsvektors
die folgende Darstellungsformel.
Für jedes
gilt
Wegen dieser Produktdarstellung der Dichte
ergibt sich nun aus Theorem
1.7
, dass
unabhängig von
ist.
Wegen (
35
) ergibt sich somit aus Theorem
1.8
, dass auch die Zufallsvariablen
und
unabhängig sind.
Theorem 1.11
Sei
eine normalverteilte Zufallsstichprobe mit
N
für
. Dann gilt
(37)
und
(38)
Beweis
Aus Theorem WR-3.14 (bzw. aus dessen vektorieller Version in Theorem
1.9
) ergibt sich, dass
für jedes
, vgl. auch das Beispiel in Abschnitt WR-3.4.2.
Weil mit
auch die Zufallsvariablen
unabhängig sind, ergibt sich nun aus der Faltungsstabilität der Normalverteilung (vgl. Korollar WR-3.2), dass
Damit ist (
37
) bewiesen.
Um (
38
) zu beweisen, betrachten wir die Identität
Weil die Zufallsvariablen
unabhängig und N
-verteilt sind, ergibt sich somit aus der Definition der
-Verteilung, dass
(39)
Wegen Theorem
1.10
sind die beiden Summanden RS
und RS
auf der rechten Seite dieser Gleichung unabhängig.
Wegen Theorem WR-5.18 gilt deshalb für die charakteristische Funktion
der linken Seite LS von (
39
), dass
für jedes
, wobei
die charakteristische Funktion von RS
bezeichnet.
Aus Theorem
1.5
folgt somit, dass für jedes
Die erneute Anwendung von Theorem
1.5
und des Eindeutigkeitssatzes für charakteristische Funktionen (vgl. Korollar WR-5.5) ergibt nun, dass
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Ursa Pantle 2004-07-14