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Methode der kleinsten Quadrate

Theorem 5.1   $ \;$ Der Vektor $ (\widehat\alpha,\widehat\beta)$ mit

$\displaystyle \widehat\beta=\frac{s^2_{xy}}{s^2_{xx}}\;,\qquad\widehat\alpha=
 \overline y_n-\widehat\beta\overline x_n\,,$ (4)

minimiert den mittleren quadratischen Fehler $ e(\alpha,\beta)$, wobei $ \overline x_n$, $ \overline y_n$ die Stichprobenmittel bezeichnen, d.h.

$\displaystyle \overline x_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_i\,,\qquad
\overline y_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n y_i\,,
$

und die Stichprobenvarianzen $ s^2_{xx},s^2_{yy}$ bzw. die Stichprobenkovarianz $ s^2_{xy}$ gegeben sind durch

$\displaystyle s^2_{xx}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n\bigl(x_i-\overline
x_n...
...
s^2_{yy}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n\bigl(y_i-\overline
y_n\bigr)^2\,.
$

Beweis
 
Beachte
 


Beispiel
$ \;$ (vgl. Casella/Berger (2002) Statistical Inference, Duxbury, S. 540ff.)
Jahr Ertrag ($ y_i$) Clusterzahl ($ x_i$)
1971 5.6 116.37
1973 3.2 82.77
1974 4.5 110.68
1975 4.2 97.50
1976 5.2 115.88
1977 2.7 80.19
1978 4.8 125.24
1979 4.9 116.15
1980 4.7 117.36
1981 4.1 93.31
1982 4.4 107.46
1983 5.4 122.30
Die Daten des Jahres 1972 fehlen, weil in diesem Jahr das untersuchte Weinanbaugebiet von einem Wirbelsturm verwüstet worden war.
Übungsaufgabe
 

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Ursa Pantle 2004-07-14