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Modifikationen von càdlàg
Prozessen
In diesem und in den nachfolgenden Abschnitten setzen wir stets
(o.B.d.A.) voraus, dass
ein vollständiger
Wahrscheinlichkeitsraum ist, d.h.,
- sämtliche ,,Nullmengen'' des Wahrscheinlichkeitsraumes
gehören zu
bzw. (äquivalent hierzu)
- für
gilt
, falls es Teilmengen
gibt, so dass
und
.
- Beachte
-
- Zur Erinnerung: Wenn für die stochastischen Prozesse
und
über
|
(5) |
gilt, dann wird eine Modifikation von
(und umgekehrt) genannt.
- Manchmal wird eine verschärfte Version der Bedingung
(5) betrachtet. Dabei sagt man, dass die
stochastischen Prozesse und ununterscheidbar sind, wenn
- Außerdem sagt man, dass der stochastische Prozess
càdlàg ist,
- wenn fast alle Trajektorien von rechtsstetige Funktionen
sind, die linksseitige Grenzwerte besitzen,
- wobei ,,càdlàg'' eine Abkürzung der französischen Sprechweise
,,continu à droite, limites à gauche'' ist.
- Alle stochastischen Prozesse mit stückweise konstanten bzw.
stetigen Trajektorien, die in Kapitel 2 betrachtet
werden, sind càdlàg.
Theorem 1.4
Seien
und
stochastische
Prozesse über
, so dass
und
mit Wahrscheinlichkeit
rechtsstetige Trajektorien besitzen.
Außerdem sei
eine Modifikation von
. Dann sind
die Prozesse
und
ununterscheidbar.
- Beweis
-
- Seien
diejenigen Teilmengen von
, für die die Trajektorien von bzw.
nicht rechtsstetig sind, wobei dann
.
- Außerdem sei
für jedes und
,
wobei
die Menge der rationalen Zahlen in
bezeichnet.
- Sei nun eine beliebige (nichtnegative) Zahl und
eine Folge rationaler Zahlen mit
und
.
Aus Theorem 1.4 ergibt sich insbesondere das
folgende Resultat.
Korollar 1.1
Die Prozesse
und
seien
càdlàg, wobei
eine Modifikation von
sei. Dann
sind die Prozesse
und
ununterscheidbar.
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Jonas Rumpf
2006-07-27