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Güteeigenschaften des MKQ-Schätzers $ \widehat{\boldsymbol{\beta}}$

Wir leiten nun Güteeigenschaften des in (17) gegebenen MKQ-Schätzers $ \widehat{\boldsymbol{\beta}}=(\widehat\beta_1,\ldots,\widehat\beta_m)^\top$ für den Vektor $ {\boldsymbol{\beta}}=(\beta_1,\ldots,\beta_m)^\top$ der Regressionskoeffizienten her.

Theorem 3.3   $ \;$ Es gilt $ {\mathbb{E}\,}\widehat{\boldsymbol{\beta}}={\boldsymbol{\beta}}$ für jedes $ {\boldsymbol{\beta}}\in\mathbb{R}^m$, d.h., $ \widehat{\boldsymbol{\beta}}$ ist erwartungstreu.

Beweis
$ \;$ Wegen $ {\mathbb{E}\,}{\boldsymbol{\varepsilon }}={\mathbf{o}}$ ergibt sich aus (4) und (17), daß
$\displaystyle {\mathbb{E}\,}\widehat{\boldsymbol{\beta}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\mathbb{E}\,}\bigl(({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{X}}^\top{\mathbf{Y}}\bigr)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {\mathbb{E}\,}\bigl(({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{X}}^\top({\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}+{\boldsymbol{\varepsilon }})\bigr)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {\boldsymbol{\beta}}+{\mathbb{E}\,}\bigl(({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{X}}^\top{\boldsymbol{\varepsilon }}\bigr)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {\boldsymbol{\beta}}+({\mathbf{X}}^\top{\mathbf{X}})^{-1}{\mathbf{X}}^\top{\mathbb{E}\,}{\boldsymbol{\varepsilon }}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {\boldsymbol{\beta}}\,.$  


 
  $ \Box$


Beachte
 

Theorem 3.4   $ \;$ Für jedes $ \widetilde{\boldsymbol{\beta}}=(\widetilde\beta_1,\ldots,\widetilde\beta_m)\in\mathcal{L}$ gilt

$\displaystyle {\rm Var\,}\widehat\beta_i\le {\rm Var\,}\widetilde\beta_i\,,\qquad\forall\, i=1,\ldots,m\,,$ (20)

wobei die Gleichheit in % latex2html id marker 40308
$ (\ref{var.til.hat})$ genau dann für jedes $ i=1,\ldots,m$ gilt, wenn $ \widetilde{\boldsymbol{\beta}}=\widehat{\boldsymbol{\beta}}$.

Beweis
 


Beachte
 


Theorem 3.5   Sei $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}$ eine Funktion mit $ \lim_{n\to\infty} f(n)=0$, so daß der Grenzwert

$\displaystyle {\mathbf{Q}}=\lim\limits_{n\to\infty} \bigl(f(n){\mathbf{X}}_n^\top{\mathbf{X}}_n\bigr)$ (26)

existiert und die $ m\times m$ Matrix $ {\mathbf{Q}}$ regulär ist. Dann ist $ \widehat{\boldsymbol{\beta}}_n$ ein schwach konsistenter Schätzer für $ {\boldsymbol {\beta }}$.


Beweis
 


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Ursa Pantle 2003-03-10