Weil mit
die Ungleichung
gilt, ergibt sich hieraus die Gültigkeit von (25).
Außerdem wird klar, daß die Gleichheit in (25) für
jedes
genau dann gilt, wenn
, d.h.
.
Beachte
Wegen Theorem 3.3 gilt
.
Aus Theorem 3.4 ergibt sich außerdem, daß
im Sinne von (20) bester
linearer erwartungstreuer Schätzer für
ist.
Wir leiten nun noch eine hinreichende Bedingung dafür her, daß
ein schwach konsistenter Schätzer für
ist, wobei der Stichprobenumfang , d.h. die Anzahl
der Zeilen der Designmatrix
gegen strebt.
Zur Erinnerung: Der Schätzer
für
heißt schwach konsistent, falls
Theorem 3.5
Sei
eine Funktion mit
, so daß der Grenzwert
(26)
existiert und die Matrix
regulär ist. Dann ist
ein schwach konsistenter Schätzer für
.
Beweis
Weil
erwartungstreu ist (vgl.
Theorem 3.3) und weil für jedes
genügt es zu zeigen, daß
(27)
Weil vorausgesetzt wird, daß die (Grenz-) Matrix
regulär
ist, ist somit die inverse Matrix
wohldefiniert.