Randverteilungen und Unabhängigkeit von Teilvektoren; Faltungsstabilität

• Ein weitere interessante Eigenschaft, die ebenfalls mit Hilfe von Theorem 3.8 hergeleitet werden kann, besteht darin, daß beliebige Teilvektoren von normalverteilten Zufallsvektoren erneut normalverteilt sind.
• Dabei setzen wir so wie bisher voraus, daß ${\boldsymbol{\mu}}=(\mu_1,\ldots,\mu_n)^\top\in\mathbb{R}^n$ ein beliebiger Vektor und ${\mathbf{K}}=(k_{ij})$ eine symmetrische und positiv definite $n\times n$-Matrix ist.
• Es ist klar, daß der Zufallsvektor $(X_{\pi_1},\ldots,X_{\pi_n})$ für jede Permutation ${\boldsymbol{\pi}}=(\pi_1,\ldots,\pi_n)$ der natürlichen Zahlen $1,\ldots,n$ normalverteilt ist, falls $(X_1,\ldots,X_n)$ normalverteilt ist.
• Bei der Untersuchung der Verteilung von Teilvektoren normalverteilter Zufallsvektoren können wir uns somit o.B.d.A. auf die Betrachtung der ersten Komponenten beschränken.

Korollar 3.2   $\;$ Falls $(X_1,\ldots,X_n)\sim{\rm N}({\boldsymbol{\mu}},{\mathbf{K}})$, dann gilt $(X_1,\ldots,X_m)\sim\,{\rm N}({\boldsymbol{\mu}}_m,{\mathbf{K}}_m)$ für jedes $m=1,\ldots,n$, wobei ${\boldsymbol{\mu}}_m=(\mu_1,\ldots,\mu_m)^\top$ und ${\mathbf{K}}_m$ diejenige $m\times m$ Matrix bezeichnet, die aus den ersten $m$ Zeilen bzw. Spalten von ${\mathbf{K}}$ gebildet wird.

Beweis

 

• Sei $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ die charakteristische Funktion von $(X_1,\ldots,X_n)$.
• Für die charakteristische Funktion $\varphi_m:\mathbb{R}^m\to\mathbb{C}$ von $(X_1,\ldots,X_m)$ gilt dann
  $$\varphi_m({\mathbf{t}}_m)=\varphi\Bigl(({\mathbf{t}}_m,\underbrac... ...)\Bigr)\,, \qquad\forall\, {\mathbf{t}}_m=(t_1,\ldots,t_m)\in\mathbb{R}^m\,.$$

• Hieraus und aus (42) ergibt sich, daß
  $$\varphi_m({\mathbf{t}}_m)=\exp\Bigl({\rm i}\,{\mathbf{t}}_m^\top{... ...f{K}}_m{\mathbf{t}}_m\Bigr)\,,\qquad\forall\,{\mathbf{t}}_m\in\mathbb{R}^m\,.$$

• Weil mit ${\mathbf{K}}$ auch die $m\times m$ Matrix ${\mathbf{K}}_m$ symmetrisch und positiv definit ist, bedeutet dies wegen Theorem 3.8, daß die charakteristische Funktion des Teilvektors $(X_1,\ldots,X_m)$ mit der charakteristischen Funktion der N $({\boldsymbol{\mu}}_m,{\mathbf{K}}_m)$-Verteilung übereinstimmt.
• Wegen des eineindeutigen Zusammenhanges zwischen der charakteristischen Funktion und der Verteilung von Zufallsvektoren ergibt sich hieraus die Behauptung.
  
  $\Box$

Bei der Zerlegung des normalverteilten Zufallsvektors $(X_1,\ldots,X_n)$ in die zwei Teilvektoren $(X_1,\ldots,X_m)$ und $(X_{m+1},\ldots,X_n)$, wobei $1<m<n$, läßt sich ein einfaches Kriterium dafür angeben, daß $(X_1,\ldots,X_m)$ und $(X_{m+1},\ldots,X_n)$ unabhängig sind.

Korollar 3.3    

• Sei $(X_1,\ldots,X_n)$ ein normalverteilter Zufallsvektor mit $(X_1,\ldots,X_n)\sim\,{\rm N}({\boldsymbol{\mu}},{\mathbf{K}})$; ${\mathbf{K}}=(k_{ij})$.
• Die Teilvektoren $(X_1,\ldots,X_m)$ und $(X_{m+1},\ldots,X_n)$ sind genau dann unabhängig, wenn $k_{ij}=0$ für beliebige $i\in\{1,\ldots,m\}$ und $j\in\{m+1,\ldots,n\}$.

Beweis

 

• Wenn die Teilvektoren $(X_1,\ldots,X_m)$ und $(X_{m+1},\ldots,X_n)$ unabhängig sind, dann sind auch die (eindimensionalen) Zufallsvariablen $X_i$ und $X_j$ für beliebige $i\in\{1,\ldots,m\}$ und $j\in\{m+1,\ldots,n\}$ unabhängig.
• Damit gilt insbesondere ${\rm Cov\,}(X_i,X_j)=0$, und aus Korollar 3.1 folgt, daß $k_{ij}=0$.
• Wir nehmen nun umgekehrt an, daß $k_{ij}=0$ für beliebige $i\in\{1,\ldots,m\}$ und $j\in\{m+1,\ldots,n\}$.
• Dann ergibt sich aus Theorem 3.8, daß sich die charakteristische Funktion $\varphi({\mathbf{t}})$ von $(X_1,\ldots,X_n)$ wie folgt faktorisieren läßt.
• Für jedes ${\mathbf{t}}=(t_1,\ldots,t_n)\in\mathbb{R}^n$ gilt
  

  $${ \varphi({\mathbf{t}}) = \exp\Bigl({\rm i}\,{\mathbf{t}}^\top{\b... ...mu_i-\,\frac{1}{2}\, \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n t_ik_{ij}t_j\Bigr)}$$

  $$= \exp\Bigl({\rm i}\,\sum\limits_{i=1}^m t_i\mu_i-\,\frac{1}{2}\, \... ...,\frac{1}{2}\, \sum\limits_{i=m+1}^n\sum\limits_{j=m+1}^n t_ik_{ij}t_j\Bigr)\,,$$

  
  
  wobei die Faktoren des letzten Ausdruckes die charakteristischen Funktionen von $(X_1,\ldots,X_m)$ und $(X_{m+1},\ldots,X_n)$ sind.
• Die Behauptung ergibt sich nun aus dem Eindeutigkeitssatz für charakteristische Funktionen von Zufallsvektoren.
  
  $\Box$

Beachte

 

• Wir diskutieren nun noch die Faltungsstabilität der multivariaten Normalverteilung und verallgemeinern dabei Korollar WR-3.2, wo wir diese Eigenschaft für die eindimensionale Normalverteilung bewiesen hatten.
• In diesem Zusammenhang ist die folgende Formel für die charakteristische Funktion von Summen unabhängiger Zufallsvektoren nützlich, die sich genauso wie die in Theorem WR-5.18 für den eindimensionalen Fall hergeleitete Formel beweisen läßt.

Lemma 3.10   Seien ${\mathbf{Z}}_1,{\mathbf{Z}}_2:\Omega\to\mathbb{R}^n$ unabhängige Zufallsvektoren. Für die charakteristische Funktion $\varphi_{{\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{C}$ der Summe ${\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2$ gilt dann

$$\varphi_{{\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2}({\mathbf{t}})=\varphi_{{\... ...{{\mathbf{Z}}_2}({\mathbf{t}})\,,\qquad\forall\, {\mathbf{t}}\in\mathbb{R}^n\,,$$ (46)

wobei $\varphi_{{\mathbf{Z}}_i}$ die charakteristische Funktion von ${\mathbf{Z}}_i$ bezeichnet; $i=1,2$.

Die folgende Aussage wird Faltungsstabilität der multivariaten Normalverteilung genannt.

Korollar 3.4    

• Seien ${\mathbf{Z}}_1,{\mathbf{Z}}_2:\Omega\to\mathbb{R}^n$ unabhängige Zufallsvektoren mit ${\mathbf{Z}}_i\sim\,{\rm N}({\boldsymbol{\mu}}_i,{\mathbf{K}}_i)$ für $i=1,2$.
• Dann gilt ${\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2\sim\,{\rm N}({\boldsymbol{\mu}}_1+{\boldsymbol{\mu}}_2,{\mathbf{K}}_1+{\mathbf{K}}_2)$.

Beweis

 

• Aus (42) und (46) ergibt sich, daß
  

  $$\varphi_{{\mathbf{Z}}_1+{\mathbf{Z}}_2}({\mathbf{t}}) = \varphi_{{\mathbf{Z}}_1}({\mathbf{t}})\; \varphi_{{\mathbf{Z}}_2}({\mathbf{t}})$$

  $$= \exp\Bigl({\rm i}\,{\mathbf{t}}^\top{\boldsymbol{\mu}}_1-\,\frac{... ...ymbol{\mu}}_2-\,\frac{1}{2}\, {\mathbf{t}}^\top{\mathbf{K}}_2{\mathbf{t}}\Bigr)$$

  $$= \exp\Bigl({\rm i}\,{\mathbf{t}}^\top({\boldsymbol{\mu}}_1+{\bolds... ...c{1}{2}\, {\mathbf{t}}^\top({\mathbf{K}}_1+{\mathbf{K}}_2){\mathbf{t}}\Bigr)\,.$$

  
  

• Hieraus und aus dem Eindeutigkeitssatz für charakteristische Funktionen von Zufallsvektoren ergibt sich die Behauptung.
  
  $\Box$