Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum

Für jedes $A\subset\Omega$ bezeichne $\vert A\vert$ die Anzahl der Elemente, die zu $A$ gehören. Es gelte $\vert\Omega\vert<\infty$ (und damit auch $\vert A\vert<\infty$ für jedes $A\subset\Omega$). Ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ mit $\vert\Omega\vert<\infty$ heißt endlicher Wahrscheinlichkeitsraum.

Definition

$\;$ Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{P}(\Omega ),P)$, bei dem alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, d.h., $P(\{\omega \})=\frac{1}{\vert\Omega \vert},\forall \omega \in \Omega$, heißt Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum.

Beachte

$\;$ Sei $(\Omega ,\mathcal{P}(\Omega ),P)$ ein Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum. Für jedes $A\subset\Omega$ gilt dann $P(A)=\vert A\vert/\vert\Omega\vert$ wegen der $\sigma$-Additivität von Wahrscheinlichkeitsmaßen. Die so gegebene Wahrscheinlichkeit $P(A)=\vert A\vert/\vert\Omega\vert$ heißt Laplacesche Wahrscheinlichkeit.

Beispiel

$\;$ (zweimaliges Würfeln)
$\omega=(i,j)$ $( i=$ Augenzahl beim 1. Wurf; $j=$ Augenzahl beim 2. Wurf)
$\Omega =\{(i,j):1\leq i,j\leq 6\};\; \vert\Omega \vert=36;\; \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega )$.
Sei $p:\Omega \rightarrow [0,1]$ mit $p(\omega _{1})=p(\omega _{2}) \;\forall \omega _{1},\omega _{2}\in \Omega$ und $\sum\limits _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1$. Hieraus folgt, dass $p(\omega )=\frac{1}{36}\; \forall \omega\in\Omega$.
Für ein beliebiges Ereignis $A\subset\Omega$ definieren wir $P(A)=\sum\limits _{\omega \in A}p(\omega )$. D.h. $P(A)=\vert A\vert/\vert\Omega\vert$.
Sei beispielsweise $A=\{\textrm{Gesamtaugenzahl }\geq 10\}= \{(6,6),(6,5),(5,6),(6,4),(4,6),(5,5)\}$.
Dann gilt $\vert A\vert=6$ und somit $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.