Unabhängige Ereignisse

Der Begriff der stochastischen Unabhängigkeit zweier Ereignisse $A,B\in\mathcal{F}$ ist mit der intuitiven Vorstellung verbunden, daß die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A\mid B)$ des Ereignisses $A$ unter der Bedingung $B$ mit der ,,unbedingten'' Wahrscheinlichkeit $P(A)$ von $A$ übereinstimmt, d.h. $P(A\mid B)=P(A)$, wobei $P(B)>0$ vorausgesetzt wird.

Es ist jedoch zweckmäßiger, die folgende (äquivalente) Gleichung $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ zu betrachten, weil durch sie auch der Fall $P(B)=0$ erfaßt wird.

Definition 3.16

 

1. Die Ereignisse $A,\, B\in \mathcal{F}$ heißen unabhängig, falls $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
2. Sei $A_1,A_2,\ldots,A_n\in\mathcal{F}$ eine beliebige Folge von Ereignissen. Dann sagt man, daß $A_1,A_2,\ldots,A_n$ unabhängige Ereignisse sind, falls für jede Teilfolge $\{i_1,i_2,\ldots,i_k\}\subset\{1,2,\ldots,n\}$ gilt:

   $$P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap\ldots\cap A_{i_k}) =\prod ^k_{j=1} P(A_{i_j})\,.$$ (18)

   
   

Beachte

 

1. Der Begriff der Unabhängigkeit wird auch für unendliche Folgen von Ereignissen benötigt. Man sagt, daß $A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{F}$ unabhängige Ereignisse sind, falls für jede endliche Teilfolge $\{i_1,i_2,\ldots,i_k\}\subset\{1,2,\ldots,\}$ die Bedingung (18) erfüllt ist.
2. Das folgende Beispiel zeigt, daß aus der Unabhängigkeit von Ereignis-Paaren $A_{i_1},A_{i_2}$ im allgemeinen nicht die (vollständige) Unabhängigkeit der gesamten Folge $A_1,A_2,\ldots,A_n$ impliziert wird.

Beispiel

 

• Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ gegeben durch $\Omega =\{1,2,3,4\}$, $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$, $P(\{k\})=\frac{1}{4}$ für jedes $k\in\Omega$.
• Sei $A_k=\{k,4\}$ für $k=1,2,3$.
• Dann sieht man leicht, daß
  1. die Paare $A_1, A_2$ bzw. $A_2, A_3$ bzw. $A_1, A_3$ jeweils unabhängig sind,
  2. die Ereignisse $A_1,A_2,A_3$ jedoch nicht unabhängig sind.
• Denn es gilt
  $$P(A_i\cap A_{i+1})= P(\{4\})=\frac{1}{4}\qquad =\qquad P(A_i)\cdot P(A_{i+1})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$   für $i=1,2$$$$$
  bzw.
  $$P(A_i1\cap A_3)= P(\{4\})=\frac{1}{4}\qquad =\qquad P(A_1)\cdot P(A_3)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\;.$$

• Jedoch
  $$P(A_1\cap A_2\cap A_3)= P(\{4\})=\frac{1}{4}\qquad \neq \qquad P(A_1)\cdot P(A_2)\cdot P(A_3)=\frac{1}{8}\;.$$