Unabhängige Zufallsvariable

Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen wird durch die Unabhängigkeit von Ereignissen ausgedrückt.

So heißen zwei Zufallsvariable $X_1,X_2$ unabhängig, wenn die Ereignisse $\{X_1\le x_1\}$ und $\{X_2\le x_2\}$ für beliebige $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ unabhängig im Sinne von Definition 3.16 sind.

Für Folgen von Zufallsvariablen wird der Begriff der Unabhängigkeit folgendermaßen gebildet.

Definition 3.17

$\;$ Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum.

1. Die Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}$ heißen unabhängig, falls

   $$F_{(X_1,\ldots,X_n)}(x_1,\ldots,x_n) =F_{X_1}(x_1)\ldots F_{X_n}(x_n)\qquad \forall \, (x_1,\ldots,x_n) \in\mathbb{R}^n\,.$$ (19)

   
   

2. Sei $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige (unendliche) Folge von Zufallsvariablen. Dann sagt man, daß $X_1,X_2,\ldots$ unabhängige Zufallsvariablen sind, falls jede endliche Teilfolge $X_{i_1},\ldots,X_{i_k}$ von $X_1,X_2,\ldots$ aus unabhängigen Zufallsvariablen besteht.

Beachte

 

1. Aus den Definitionen 3.5 und 3.7 der Verteilungsfunktionen $F_{(X_1,\ldots,X_n)}$ und $F_{X_1},\ldots,F_{X_n}$ ergibt sich sofort, daß die Definitionsgleichung (19) äquivalent ist mit

   $$P(X_1\leq x_1,\ldots,X_n\leq x_n)= P(X_1\leq x_1)\ldots P(X_n\leq x_n)\qquad \forall\, x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}\,.$$ (20)

   
   

2. Darüber hinaus kann man zeigen, daß (20) und damit auch (19) äquivalent ist mit
   $$P(X_1\in B_1,\ldots,X_n\in B_n)= P(X_1\in B_1)\ldots P(X_n\in B_n)\qquad \forall\, B_1,\ldots,B_n\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\,.$$

Hieraus und aus den Definitionsgleichungen (3) und (10) der Dichten $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(x_1,\ldots,x_n)$ und $f_{X_1}(x_1)\ldots f_{X_n}(x_n)$ ergibt sich unmittelbar die folgende Charakterisierung der Unabhängigkeit von diskreten bzw. absolutstetigen Zufallsvariablen.

Theorem 3.18

 

1. Sei $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein diskreter Zufallsvektor mit $P(X\in C) =1$ für eine abzählbare Menge $C\subset\mathbb{R}^n$. Seine Komponenten $X_1,\ldots,X_n$ sind genau dann unabhängige Zufallsvariable, wenn

   $$P(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n)= P(X_1=x_1)\ldots P(X_n=x_n)\qquad \forall\, (x_1,\ldots,x_n)\in C\,.$$ (21)

   
   

2. Sei $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein absolutstetiger Zufallsvektor. Seine Komponenten $X_1,\ldots,X_n$ sind genau dann unabhängige Zufallsvariable, wenn
   $$f_X(x_1,\ldots,x_n)= f_{X_1}(x_1)\ldots f_{X_n}(x_n) \qquad \forall \, x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}\,.$$