Quadrierung

Theorem 3.21

$\;$ Sei $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsgröße. Dann gilt

1. für die Verteilungsfunktion von $X^2$
   $$F_{X^{2}}(x)= \left\{ \begin{array}{ll} F_X(\sqrt{x})-F_X(-\sqrt{... ...\textrm{falls }x\geq 0\,, \\ 0\,, & \textrm{falls }x<0\,, \end{array}\right.$$

2. falls $X$ absolutstetig ist mit der Dichte $f_X$, dann ist auch $X^2$ absolutstetig, und es gilt

   $$f_{X^2}(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2\sqrt{x}}( f_X(\sq... ... & \textrm{falls }x>0\,,\\ 0\,, & \textrm{falls }x\leq 0\,. \end{array}\right.$$ (30)

   
   

Beweis

$\;$ analog zum Beweis von Theorem 3.20, wobei jetzt $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $\varphi(x)=x^2$.

Beispiel

$\;$ Falls $X\sim N(0,1)$, dann ergibt sich aus (30):

$$f_{X^2}(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} \ex... ...{x}{2})&\mbox{falls $x\ge 0$,}\\ 0\,, & \mbox{falls $x<0$.} \end{array}\right.$$ (31)

Beachte

$\;$ Die Summe von unabhängigen (und identisch verteilten) Zufallsvariablen, deren Dichte durch (31) gegeben ist, heißt $\chi ^2$-verteilt. Die $\chi ^2$-Verteilung ist eine sogenannte statistische Prüfverteilung, die im weiteren Verlauf der Vorlesung noch genauer diskutiert wird.