Lineare Transformation

Ein wichtiger Spezialfall einer zusammengesetzten Abbildung ist die lineare Transformation von Zufallsvariablen, wobei $n=1$ und $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $\varphi(x)=ax+b$; $a,b\in\mathbb{R}$.

Theorem 3.20

$\;$ Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}$ eine beliebige Zufallsvariable und $a,b\in\mathbb{R}$ beliebige Zahlen mit $a\neq 0$. Dann ist $aX+b$ eine Zufallsvariable, und

1. die Verteilungsfunktion von $aX+b$ ist gegeben durch

   $$F_{aX+b}(x)=\left\{ \begin{array}{cc} F_X\Bigl(\frac{x-b}{a}\Bigr... ...gr)+ P\Bigl(X=\frac{x-b}{a}\Bigr)\,, & \textrm{falls }a<0\,. \end{array}\right.$$ (27)

   
   

2. falls $X$ absolutstetig ist mit der Dichte $f_X$, dann ist auch $aX+b$ absolutstetig mit der Dichte

   $$f_{aX+b}(x)=\frac{1}{\vert a\vert}f_{X}(\frac{x-b}{a})\,.$$ (28)

   
   

Beweis

$\;$ Falls $a>0$, dann gilt

$$F_{aX+b}(x)= P(aX+b\leq x)= P\Bigl(X\leq \frac{x-b}{a}\Bigr)=F_{X}\Bigl(\frac{x-b}{a}\Bigr)\,.$$

Analog ergibt sich für $a<0$

$$F_{aX+b}(x) = P(aX+b\leq x)$$

$$= P\Bigl(X\geq \frac{x-b}{a}\Bigr)$$

$$= 1- P\Bigl(X<\frac{x-b}{a}\Bigr)$$

$$= 1-F_X\Bigl(\frac{x-b}{a}\Bigr) + P \Bigl(X=\frac{x-b}{a}\Bigr)\,.$$

Damit ist (27) bewiesen. Sei nun $X$ absolutstetig. Falls die Dichte $f_X(x)$ von $X$ eine stetige Funktion ist, dann ergibt sich (28) durch beidseitiges Differenzieren von (27). Ansonsten nutzt man die Tatsache, daß zwischen Verteilungsfunktion und Dichte einer Zufallsvariablen eine eineindeutige Zuordnung besteht, und zeigt, daß das Integral von $\vert a\vert^{-1}f_X((x-b)/a)$ die Verteilungsfunktion von $aX+b$ ergibt.

Beispiel

 

• Sei $X$ standardnormalverteilt, und $\sigma>0$, $\mu\in\mathbb{R}$ seien beliebige Konstanten.
• Gemäß Theorem 3.20 ist dann die Zufallsvariable $Y=\sigma X+\mu$ absolutstetig, und es gilt

  $$f_Y(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp \Bigl( -\frac{1}{2}\Bigl(\frac{x-\mu}{\sigma }\Bigr)^{2}\Bigr)\,.$$ (29)

  
  

• Eine Zufallsvariable $Y$, deren Dichte durch (29) gegeben ist, heißt normalverteilt mit den Parametern $\mu$ und $\sigma^2$; vgl. auch Abschnitt 3.2.3. Dabei verwenden wir die Schreibweise $Y\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$.
• Umgekehrt ergibt sich, ausgehend von einer normalverteilten Zufallsvariablen $Y\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$, durch die lineare Transformation $X=(Y-\mu)/\sigma$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable $X\sim$ N$(0,1)$.