Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz

Wir diskutieren nun einige nützliche Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz.

Bei der Herleitung dieser Eigenschaften wird die folgende Verallgemeinerung von Lemma 4.2 für Zufallsvektoren benötigt.

Lemma 4.4

$\;$ Sei $X:\Omega\to\mathbb{R}^n$ ein beliebiger Zufallsvektor, und sei $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ eine stetige Abbildung. Dann läßt sich der Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}\varphi(X)$ der Zufallsvariablen $\varphi(X):\Omega\to\mathbb{R}$ wie folgt darstellen.

1. Falls $X$ diskret ist mit $P(X\in C) =1$ für eine abzählbare Menge $C\subset\mathbb{R}^n$, dann gilt

   $${\mathbb{E}\,}\varphi(X)=\sum\limits _{x\in C}\varphi(x)P(X=x)\,,$$ (13)

   
   
   wobei vorausgesetzt wird, daß
   $$\sum\limits _{x\in C}\vert\varphi(x)\vert P(X=x)<\infty\,.$$

2. Falls $X$ absolutstetig ist mit der (gemeinsamen) Dichte $f_X(x)$, dann gilt

   $${\mathbb{E}\,}\varphi(X)=\int\limits ^{\infty}_{-\infty}\ldots \i... ...\infty} \varphi(x_1,\ldots,x_n)\, f_{X}(x_1,\ldots,x_n)\, dx_1\,\ldots\,dx_n\,,$$ (14)

   
   
   wobei vorausgesetzt wird, daß
   $$\int\limits ^{\infty}_{-\infty}\ldots \int\limits ^{\infty}_{-\in... ...hi(x_1,\ldots,x_n)\vert\, f_{X}(x_1,\ldots,x_n)\, dx_1\,\ldots\,dx_n<\infty\,.$$

Beweis

$\;$ analog zum Beweis von Lemma 4.2.

Theorem 4.5

$\;$ Seien $X_1$ und $X_2$ beliebige Zufallsvariable mit ${\mathbb{E}\,}\vert X_1\vert<\infty$, ${\mathbb{E}\,}\vert X_2\vert<\infty$. Dann gilt für beliebige Konstanten $a,b\in\mathbb{R}$

$${\mathbb{E}\,}(a\,X_1+b\,X_2)=a\,{\mathbb{E}\,}X_1+b\,{\mathbb{E}\,}X_2\,.$$ (15)

Außerdem gilt für jede Zufallsvariable $Y$ mit ${\mathbb{E}\,}(Y^2)<\infty$

$$Y={\mathbb{E}\,}(Y^2)-({\mathbb{E}\,}Y)^2$$ (16)

und für beliebige $a,b\in\mathbb{R}$

$$(aY+b)=a^2 Y\,.$$ (17)

Beweis

 

• Falls $X_1$ und $X_2$ diskrete Zufallsvariablen sind, dann ergibt sich (15) aus (13), wobei ähnlich wie im Beweis von Lemma 4.2 vorgegangen werden kann.
• Wir führen den Beweis von (15) nur für den Fall, daß der Zufallsvektor $(X_1,X_2)$ absolutstetig ist. Für $\varphi(x_1,x_2)=a\,x_1+b\,x_2$ ergibt sich dann aus (14), daß
  

  $${\mathbb{E}\,}(a\,X_1+b\,X_2) = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty (a\,x_1+b\,x_2)f_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)\,d{x_1}\,d{x_2}$$

  $$= \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty a\,x_1f_{(X_1,X_2)}(x_... ...infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty b\,x_2f_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)\,d{x_1}\,d{x_2}$$

  $$= \int_{-\infty}^\infty a\,x_1\int_{-\infty}^\infty f_{(X_1,X_2)}(x... ...nfty}^\infty b\,x_2\int_{-\infty}^\infty f_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)\,d{x_1}\,d{x_2}$$

  $$= \int_{-\infty}^\infty a\,x_1 f_{X_1}(x_1)\,d{x_1} +\int_{-\infty}^\infty b\,x_2 f_{X_2}(x_2)\,d{x_2}$$

  $$= a\int_{-\infty}^\infty x_1 f_{X_1}(x_1)\,d{x_1} +b\int_{-\infty}^\infty x_2 f_{X_2}(x_2)\,d{x_2}$$

  $$= a\,{\mathbb{E}\,}X_1+b\,{\mathbb{E}\,}X_2\,.$$

  
  

• Durch Ausmultiplizieren der quadratischen Form in (11) ergibt sich
  

  $$Y = {\mathbb{E}\,}\Bigl((Y-{\mathbb{E}\,}Y)^2\Bigr)$$

  $$= {\mathbb{E}\,}\Bigl(Y^2-2Y{\mathbb{E}\,}Y+({\mathbb{E}\,}Y)^2\Bigr)$$

  $$= {\mathbb{E}\,}(Y^2)-2{\mathbb{E}\,}Y{\mathbb{E}\,}Y+({\mathbb{E}\,}Y)^2$$

  $$= {\mathbb{E}\,}(Y^2)-({\mathbb{E}\,}Y)^2\,,$$

  
  
  wobei sich die vorletzte Gleichung aus (15) ergibt. Damit ist (16) bewiesen.
• Für $X_1=Y$ und $X_2=b$ ergibt sich aus (15), daß
  

  $$(aY+b) = {\mathbb{E}\,}\bigl(aY+b-{\mathbb{E}\,}(aY+b)\bigr)^2$$

  $$= {\mathbb{E}\,}\bigl(aY+b-{\mathbb{E}\,}(aY) -b\bigr)^2$$

  $$= {\mathbb{E}\,}\bigl(aY-{\mathbb{E}\,}(aY)\bigr)^2$$

  $$= {\mathbb{E}\,}\bigl((aY)^2\bigr)-\bigl({\mathbb{E}\,}(aY)\bigr)^2$$

  $$= a^2{\mathbb{E}\,}(Y^2)-a^2({\mathbb{E}\,}Y)^2$$

  $$= a^2 Y\,,$$

  
  
  wobei sich die letzten drei Gleichungen aus (16) bzw. erneut aus (15) ergeben. Damit ist auch (17) bewiesen.

Korollar 4.6

$\;$ Sei $n\in\mathbb{N}$ fest vorgegeben, und seien $X_1,\ldots,X_n$ Zufallsvariable mit ${\mathbb{E}\,}\vert X_1\vert<\infty,\ldots,{\mathbb{E}\,}\vert X_n\vert<\infty$. Dann gilt für beliebige Konstanten $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$

$${\mathbb{E}\,}(a_1\,X_1+\ldots+a_n\,X_n)=a_1\,{\mathbb{E}\,}X_1+\ldots+a_n\,{\mathbb{E}\,}X_n\,.$$ (18)

Beweis

$\;$ folgt aus (15) mittels vollständiger Induktion

Beispiel

$\;$ (wiederholtes Würfeln)

• Betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{P}(\Omega ),P)$, der in Abschnitt 4.1.1 eingeführt worden ist.
• Betrachten die Zufallsvariablen $X_1,X_2,\ldots:\Omega\to\{1,2,\ldots,6\}$, wobei $X_i$ die zufällige Augenzahl ist, die beim $i$-ten Würfeln erzielt wird.
• Dann gilt ${\mathbb{E}\,}X_i=\sum\limits_{j=1}^6 j\,P(X_i=j)=\frac{1}{6}\sum\limits_{j=1}^6 j=3.5$.
• Aus Korollar 4.6 ergibt sich dann für den Erwartungswert ${\mathbb{E}\,}Y_n$ der mittleren Augenzahl $Y_n=n^{-1}(X_1+\ldots+X_n)$ bei $n$-maligem Würfeln
  

  $${\mathbb{E}\,}Y_n = {\mathbb{E}\,}\Bigl(\frac{1}{n}(X_1+\ldots+X_n)\Bigr)$$

  $$= \frac{1}{n}\,({\mathbb{E}\,}X_1+\ldots+{\mathbb{E}\,}X_n)$$

  $$= \frac{1}{n}\;n\, 3.5 = 3.5\,.$$