Momentenmethode

• Die Momentenmethode ist ein spezielles Verfahren zur Gewinnung von Schätzern für die unbekannten Komponenten des Parametervektors $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_m)$.
• Sie beruht auf dem Vergleich von Momenten der Stichprobenvariablen mit den entsprechenden empirischen Momenten.

Dabei werden die folgenden Modellannahmen gemacht.

• Es gelte ${\mathbb{E}\,}_\theta (\vert X_i\vert^r)<\infty$ für jedes $\theta\in\Theta$ und für eine natürliche Zahl $r\ge m$.
• Außerdem nehmen wir an, daß für jedes $k=1,\ldots,r$ das $k$-te Moment $\mu_k={\mathbb{E}\,}_\theta (X_i^k)$ der Stichprobenvariablen $X_i$ eine (bekannte) Funktion des Parametervektors $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_m)$ ist.
• D.h., für jedes $k=1,\ldots,r$ gelte

  $$\mu_k=g_k(\theta_1,\ldots,\theta_m)\,,$$ (28)

  
  
  wobei $g_k:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ eine Borel-meßbare Funktion sei.

Die Momentenmethode besteht aus den folgenden Schritten:

• Für jedes $k=1,\ldots,r$ bestimmen wir das $k$-te empirische Moment
  $$\hat m_k=\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n x_i^k$$

• und lösen das Gleichungssystem

  $$\hat m_k=g_k(\theta_1,\ldots,\theta_m)\,,\qquad k=1,\ldots,r$$ (29)

  
  
  nach den Unbekannten $\theta_1,\ldots,\theta_m$ auf.

Die Lösung von (29) bezeichnen wir mit

$$\hat \theta(x_1,\ldots,x_n)=\bigl(\hat\theta_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots, \hat\theta_m(x_1,\ldots,x_n)\bigr)\,.$$ (30)

Dabei wird vorausgesetzt, daß $\hat\theta(x_1,\ldots,x_n)$ eindeutig bestimmt ist und daß die Abbildung

$$(x_1,\ldots,x_n)\to\hat\theta(x_1,\ldots,x_n)$$

eine Stichprobenfunktion ist, die den Stichprobenraum $\mathbb{R}^n$ in den Parameterraum $\Theta\subset\mathbb{R}^m$ abbildet.

Definition 5.17

$\;$ Der Zufallsvektor $\hat\theta(X_1,\ldots,X_n)$ heißt Momentenschätzer des Parametervektors $\theta$, wobei in (30) die Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$ anstelle der konkreten Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$ eingesetzt wird.

Beachte

 

• Es gibt Beispiele parametrischer Verteilungsfamilien, so daß das Gleichungssystem (29) für $r=m$ keine eindeutig bestimmte Lösung besitzt.
• Dann ist $r>m$, d.h., die Anzahl der betrachteten Momente kann größer als die Anzahl der (unbekannten) Parameterkomponenten sein.
• In vielen Fällen ist jedoch das Gleichungssystem (29) für $r=m$ eindeutig lösbar.

Beispiel

$\;$ Die Stichprobenvariablen $X_i$ seien normalverteilt, d.h., es gelte (26). Dann ist

• $m=2$ mit $(\theta_1,\theta_2)=(\mu,\sigma^2)$
• Außerdem ist
  $$g_1(\mu,\sigma^2)=\mu$$   und$$\qquad g_2(\mu,\sigma^2)=\sigma^2+\mu^2$$

• Das Gleichungssystem (29) hat also die Form
  

  $$\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n x_i = \hat\mu$$

  $$\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n x_i^2 = \hat\sigma^2+\hat\mu^2\,.$$

  
  

• Durch Umstellen ergibt sich
  $$\hat\mu=\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n x_i$$
  und
  

  $$\hat\sigma^2 = \Bigl(\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n x_i^2\Bigr) - \Bigl(\frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n x_i\Bigr)^2$$

  $$\vdots$$

  $$= \frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n \bigl(x_i-\overline x_n\bigr)^2\,.$$

  
  

• D.h., bei normalverteilten Stichprobenvariablen $X_i$ ergeben sich mit der Momentenmethode die Schätzer

  $$\hat\mu(X_1,\ldots,X_n) = \frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n X_i$$ (31)

  
  
  und

  $$\hat\sigma^2(X_1,\ldots,X_n) = \frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^n \bigl(X_i-\overline X_n\bigr)^2$$ (32)

  
  
  für die Modellparameter $\mu$ bzw. $\sigma^2$.

Beachte

$\;$

• Aus den Theoremen 5.4 und 5.5 ergibt sich, daß der in (31) gewonnene Schätzer $\hat\mu(X_1,\ldots,X_n)$ des Parameters $\mu$ erwartungstreu und konsistent ist.
• Aus den Theoremen 5.7 und 5.8 ergibt sich, daß der in (32) gewonnene Schätzer $\hat\sigma^2(X_1,\ldots,X_n)$ des Parameters $\sigma^2$ asymptotisch erwartungstreu und konsistent ist.
• Wegen des im Vergleich zu $S^2_n$ modifizierten Normierungsfaktors $1/n$ ist $\hat\sigma^2(X_1,\ldots,X_n)$ jedoch nicht erwartungstreu.
• Somit ist auch der Schätzer $(\hat\mu(X_1,\ldots,X_n), \hat\sigma^2(X_1,\ldots,X_n))$ des Parametervektors $(\mu,\sigma^2)$ lediglich asymptotisch erwartungstreu und konsistent.